毕达哥拉斯质数

毕达哥拉斯质数是指可以表示为4n + 1形式的质数，若直角三角形的三边均为整数，斜边为质数，其斜边的边长即为毕达哥拉斯质数。此一特性即为费马平方和定理。

毕达哥拉斯质数5和其平方根都是两股为整数的直角三角形的斜边。图中的公式说明，如何用勾股三角形得到斜边长度是前者平方根的直角三角形

依照勾股定理，有奇数质数${\displaystyle p}$，其平方根${\displaystyle {\sqrt {p}}}$是一两股为整数直角三角形的斜边，而${\displaystyle p}$本身是勾股三角形的斜边。例如5是毕达哥拉斯质数，则${\displaystyle {\sqrt {5}}}$是两股分别为1,2的直角三角形的斜边，而5本身则是两股为3,4的勾股三角形的斜边。

数值和密度

前几个毕达哥拉斯质数为

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, … （OEIS数列A002144）.

依照狄利克雷定理，有无限多个毕达哥拉斯质数，而且给定一个上界${\displaystyle n}$，小于等于此上界毕达哥拉斯质数的数量，会大略等于非毕达哥拉斯质数的数量，不过多数情况下，毕达哥拉斯质数的数量会比较少。这现象又称为切比雪夫偏差。^[1]}}。例如，在600000以内，不大于这上界的毕达哥拉斯质数数量大于非毕达哥拉斯质数数量的数字只有26861和26862^[2]。

表示为两个平方数的和

费马平方和定理陈述，毕达哥拉斯质数可以表示为二个平方数的和，其他质数除了2以外（2=1²+1²）都不能表示为二个平方数的和。毕达哥拉斯质数及2会在高斯整数的范数中出现，其他的质数不会是高斯整数的范数。

毕达哥拉斯质数可以表示为一个奇数的平方数与一个偶数的平方数的和：毕达哥拉斯质数是可以表示为a²+4b²形式的质数。

二次剩余

依照二次互反律陈述，若p及q为奇质数，其中至少有一个为毕达哥拉斯质数，则 p是模q的二次剩余的充份必要条件是q是模p的二次剩余 。相反的，若p及q都不是毕达哥拉斯质数，则p是模q的二次剩余的充份必要条件是q不是模p的二次剩余。−1是是模p的二次剩余的充份必要条件是p是毕达哥拉斯质数（或2）。

在p为毕达哥拉斯质数的域Z/p中，多项式x^2 = -1有二个解。