正二十面体

正二十面体是一种正多面体，由20个正三角形组成。同时，它也是帕雷托立体、三角面多面体以及康威多面体。正二十面体是所有五种凸正多面体面数最多的。正二十面体可以由正五角反棱柱构成，具体来说正二十面体可以视为在正五角反棱柱的两个五边形底面各叠上一个正五角锥所产生的组合形状，因此正二十面体也是一种双锥反柱体。^[1]

正二十面体

(按这里观看旋转模型)
类别	帕雷托立体 正多面体
对偶多面体	正十二面体
识别
名称	正二十面体
参考索引	U22, C25, W4
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ike
数学表示法
施莱夫利符号	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ {3,5}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	5 | 2 3
康威表示法	I sT
性质
面	20
边	30
顶点	12
欧拉特征数	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
二面角	138.189685°
组成与布局
面的种类	正三角形
面的布局 （英语：Face configuration）	20个{3}
顶点图	3.3.3.3.3
对称性
对称群	Ih
特性
正凸三角面多面体
图像
3.3.3.3.3 （顶点图） （展开图）

正二十面体有20个面、30个边和12个顶点，其对偶多面体是正十二面体。这两种立体之间的关系，在历史上，是透过比较它们的测量得到的。它的顶点布局（英语：Vertex_configuration）为3.3.3.3.3或3⁵，在施莱夫利符号中可用{3,5}来表示。^[2]

有不少多面体是基于正二十面体建构的，其中一个显著的例子是星形二十面体，这些立体共有五十九种，其皆可透过米勒的规则、以正二十面体作为核建构而来。^[3]另一个显著的例子是大十二面体，其可以透过将正二十面体刻面得到。此外的例子还有詹森多面体，许多詹森多面体可透过移除正二十面体的局部结构——如五角锥——来构建。^[4]

正二十面体可以在自然界中找到。一个较广为人知的例子是生物学中的衣壳，不少病毒的衣壳为正二十面体形。^[5]正二十面体的其他应用包括在地图制图学中的地图投影^[6]；从古至今皆有出现过二十面骰子^[7]，近代主要用于桌游。

性质

正二十面体是一个帕雷托立体，由20个面、30条边和12个顶点组成^[8]。其20个面皆为全等的正三角形，^[9]并且有43,380种不同的展开图。^[10]正二十面体每个顶点都是5个正三角形的公共顶点，顶点图可以用正五边形表示，记为3.3.3.3.3或3^5[11]，在施莱夫利符号中可用{3,5}^[2]或${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$来表示^[12]；其中{3,5}意指几何体由三角形组成，每个顶点周围都有5个三角形^[14]，因此其对偶多面体为正十二面体^[15]——每个面都是正五边形、每个五边形都是三面角——这样的表面布局下，若要将正二十面体的表面涂色而相邻的面的颜色不同，则至少需要3种颜色^[16]。

• 
  从展开图折叠回正二十面体的连续动画
• 
  正二十面体展开图的另一种形式
• 
  表面涂上三种颜色的正二十面体

外接球与内切球

正二十面体与其外接球

若有一个边长为a的正二十面体，则它的外接球（同时过该正二十面体所有顶点的球）的半径为：^[8]

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a}$ （OEIS数列A019881）

它的内切球（同时和该正二十面体所有面相切的球）的半径为：^[8]

${\displaystyle r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a}$ （OEIS数列A179294）

另外，它的中分球（同时和该正二十面体所有边相切的球）的半径为：^[8]

${\displaystyle r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a}$ （OEIS数列A019863）

其中${\displaystyle \phi }$ （也称作${\displaystyle \tau }$）为黄金比例。^[9]

体积与表面积

正二十面体3D模型

若用${\displaystyle A}$表示表面积、${\displaystyle V}$表示体积，而${\displaystyle a}$是正二十面体的边长，则有：^[8]

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},}$ （OEIS数列A010527）

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.}$ （OEIS数列A102208）

后者约为正四面体的20倍，因为正二十面体以外接球球心为中心可以切割出20个四面体，每个四面体的体积是底面积${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}}$乘上高${\displaystyle r_{i}}$再乘三分之一。

正二十面体占其外接球体积的比率为：

${\displaystyle f={\frac {V}{\frac {4\pi r_{u}^{3}}{3}}}={\frac {20(3+{\sqrt {5}})}{(2{\sqrt {5}}+10)^{\frac {3}{2}}\pi }}\approx 0.6054613829.}$

如何确定内接于同一球体的正二十面体和其对偶多面体——正十二面体——两个形状中何者体积较大？这个问题可以追溯到古希腊，且已被希罗、帕普斯和斐波那契等人解决。^[18]阿波罗尼奥斯发现了一个奇怪的结果：这两个形状的体积比与其表面积比相同。^[20]两者的体积公式都涉及到了黄金比例只是次方不同。^[22]

二面角

正二十面体的二面角可以透过正五角锥与正五角反棱柱的角度来计算，由于正二十面体可以透过将正五角锥与正五角反棱柱底面对底面叠合来构造^[23]，因此，正二十面体的二面角则为正五角锥与正五角反棱柱底面与侧面夹角之和。正五角反棱柱五边形面与三角形面间的夹角，即底面与侧面的二面角约为100.8度、正五角锥五边形面与三角形面间的夹角，即底面与侧面的二面角约为37.4度，因此可以得到正二十面体的二面角约为${\displaystyle {{37.4}+{100.8}}=138.2}$度。^[25][27]

具体数值约为三分之负根号五的反余弦值：^[28][9]

${\displaystyle \cos ^{-1}\left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 2.411865\approx 138.189685^{\circ }}$

直角坐标系

正二十面体的顶点能共同分成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形。

一个由塑胶棒和磁铁与金属球连接的正二十面体模型

在直角坐标系中，一个边长为二、几何中心在原点的正二十面体的坐标分别为：^[29]

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi )}$

${\displaystyle (\pm 1,\pm \varphi ,0)}$

${\displaystyle (\pm \varphi ,0,\pm 1)}$

其中${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$是黄金比例（或记为${\displaystyle \tau }$）。值得注意的是，这些顶点能共同形成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形，其边形成博罗梅安环（英语：Borromean rings），其中，前者是因为正二十面体与黄金比例有密切的关系。 如果原始的二十面体的边长为1，那么它的对偶——正十二面体的边长就是${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$，正好是一个黄金比例。^[9]此外正二十面体也与正八面体相关。正八面体的12条边可经由黄金比例细分出能够构成正二十面体的一系列顶点。具体的做法为：先使沿着八面体边的向量连成一个有界的环，再沿着向量的方向以黄金比例作分割。^[30]

球面坐标

A、B为两个极点，两个圆形为纬度±arctan(1/2)的位置，其余10点落于此纬度上，每次极轴与赤道镜射隔36度

正二十面体是具有D_5d二面体对称性的一个双五角锥反角柱，且顶点可以定义在球面坐标系上，其中两个顶点在球的两极，其余在纬度${\displaystyle \pm \arctan({\frac {1}{2}})}$的位置。可以发现剩余的10个顶点属于反棱柱对称，其产生的方式可以从一个定点为起始点，经度每36°做一次极轴与赤道镜射，重复以上动作，直到回到起始点。^[32]

与黄金分割的关系

若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为${\displaystyle \{(0,\pm 1,\pm \Phi ),(\pm 1,\pm \Phi ,0),(\pm \Phi ,0,\pm 1)\}}$}，在此${\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$，即黄金分割数。因此，这些顶点能共同形成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形。^[29]

正交投影

正二十面体有3种特殊的正交投影，分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。“正对于面”及“正对于顶点”之正交投影的对称性分别对应到A₂和H₃的考克斯特平面^[33][34]。

正交投影

正对于	面	棱	顶点
考克斯特平面（英语：Coxeter plane）	A2	A3	H3
图像
投影 对称性	[6]	[2]	[10]
图像	面法线	棱法线	对角线

对称性

半正涂色和子对称群

正二十面体作为扭棱四面体，可以通过旋转正四面体的正三角形面，并在4个顶点处插入新的三角形，在原来的6条棱处插入新的一对三角形来构造

作为正多面体之一，正二十面体拥有较高的对称性，其所有面都相同且不可区分。可是也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使其拥有不同的次级对称性。正二十面体有三种不同的半正涂色方法，可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为扭棱正四面体，具有手征性正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）；它亦可以被描述成交错截顶正八面体，有五角十二面体对称性（英语：pyritohedral symmetry）。这个具有五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二十面体，是五角十二面体的对偶^[35]。

名称	正二十面体	交错 截角八面体	扭棱 正四面体	正五 双锥反柱体
考克斯特-迪肯（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{3,5}	h0,1{3,4}	s{3,3}
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）	5 | 3 2		| 3 3 2
对称性（英语：List of spherical symmetry groups）	Ih [5,3] (*532)	Th [3+,4] (3*2)	T [3,3]+ (332)	D5d [2+,10] (2*5)
对称群阶	60	24	12	10
半正涂色	(11111)	(11212)	(11213)	(11122)&(22222)

构造

要构造一个正二十面体有很多种方法：

• 透过正五角反棱柱来构造（需为底面和侧面都是正多边形的反棱柱）：将两个正五角锥（需为每个面都是正多边形的正角锥）以五边形底面对底面连接到正五角反棱柱的每个底面上即可构造出正二十面体。^[23][36][37]这种构造使得正二十面体成为复合体；锥体是基本几何体，这意味着它们不能再被切成更小的凸多面体。这种构造过程称为双锥反柱体，与双锥反柱体家族中的其他多面体一样，因此这种立体又称为双五角锥反角柱。^[38]
• 透过立方体来构造：在立方体上的每个面分别放置两个顶点，每个立方体面上的两个顶点为离相对边中点距离恰为黄金比例的点，这两点连线，并令这十二个顶点描述三个互相垂直的平面，每四个顶点描述一个面，这十二个点即可构成正二十面体。^[40]
• 透过正八面体来构造：首先将正八面体三角形面与面之间的连结两两断开，并向外扭曲扩张，直到扩张到足够置入两个新的正三角形大小缝隙后停止。停止扭曲扩张后，于空隙填入新的正三角形即完成正二十面体。这个过程称为考克斯特扭棱变换，因此正二十面体也称为扭棱正八面体。^[30]
• 透过正四面体来构造：其可以视为正四面体的扩张，也就是将正四面体的面向外分开，并围绕着中心扭曲（不改变面的形状），然后加入以每个原始立体顶点为中心的三角形，并在每个原始立体之边的位置上加入成对的三角形来构成。^[42]:99。这个过程称为开普勒扭棱变换，因此正二十面体也称为扭棱四面体。^[43][44]

根据上面的构造方式，可以得到正二十面体是帕雷托立体，因为其20个面都是正三角形。这也导致正二十面体是仅有的八个凸三角面多面体之一。^[46][37]其一共有44,380种不同的展开方式。^[48]

• 
  透过正五角反棱柱来构造：由正五角锥和正五角反棱柱构造的正二十面体。其中正五角锥以红色表示、正五角反角柱以黄色表示
• 
  透过立方体来构造：正二十面体中的三个互相垂直黄金比例矩形
• 
  透过正八面体来构造：由正八面体构造正二十面体的连续动画
• 
  透过正四面体来构造：由正四面体构造正二十面体的连续动画

相关多面体及镶嵌

与正十二面体的关系

正十二面体是正二十面体的对偶多面体

在平面上，正多边形内接到圆时，边数越多，占圆面积的百分比就越高；而在三维空间中，这个规则却不可推广——当正十二面体和正二十面体内接到一个球时，前者约占66.4909%，后者仅占60.5461%。^[49]

与其他几何体的关系

正二十面体是正二十面体家族的一员：^[50]

正二十面体家族半正多面体

对称群: [5,3]（英语：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

作为扭棱正四面体和考克斯特扭棱正八面体^[30][43][44]，正二十面体也是正四面体家族和正八面体家族的一员：

正四面体家族半正多面体

对称性: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t0,1{3,3}	t1{3,3}	t1,2{3,3}	t2{3,3}	t0,2{3,3}	t0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面体对偶
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

半正正八面体家族多面体

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

正二十面体在拓扑上与其它一系列的正三角形镶嵌{3,n}和一系列的五阶正镶嵌{n,5}相关联：

多面体				欧式镶嵌	双曲镶嵌
{3,2}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}	...	{3,∞)

球面镶嵌		双曲面镶嵌
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞,5}

正二十面体和三个星形正多面体有着相同的顶点排布。其中与大十二面体还有相同的棱排布：

图像	大十二面体	小星形十二面体	大二十面体
考克斯特-迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）

三阶正二十面体堆砌模型。此处使用庞加莱圆盘模型上的线架来表示它，中心的正二十面体被涂上了颜色

虽然由于正二十面体的二面角太大（约138.189685°>120°^{[注 1]}），因此正二十面体不可能密铺三维欧几里得空间，但它可以密铺适当的双曲空间^[51][52]，称为三阶正二十面体堆砌（英语：Icosahedral honeycomb），每条棱处有三个正二十面体相交，每个顶点处有12个正二十面体相交，因此顶点图是正十二面体，施莱夫利符号{3,5,3}，是四个三维双曲空间中的正堆砌之一。

类别	帕雷托立体					卡塔兰立体
种子	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	aC	aD
倒角	cT	cC	cO（英语：Chamfered octahedron）	cD	cI	caC	caD

应用

正二十面体形状在多个领域中皆有应用，例如，制图学中有使用二十面体展开的地图投影法。^[6]自然界中也有许多以二十面体为形状的物体，例如部分病毒的蛋白质外壳。在娱乐领域中，正二十面体常被制作成骰子，另外亦存在以二十面体为外型的魔术方块。^[53]

骰子

埃及托勒密王朝的二十面体骰子。骰面上刻有希腊字母

桌游《Scattergories》的二十面体骰子。刻有不包括Q、U、V、X、Y和Z的英文字母

由于正二十面体非常均匀，且有20个面，因此适合制成骰子。^[55][56]二十面骰子在古代许多时期都有发现。一个例子是埃及托勒密王朝的骰子，后来在希腊和罗马时期亦有发现二十面体形状的骰子，其面上刻有希腊和罗马字母。^[55][56]另一个例子是在蒂普苏丹的宝藏中发现的二十面体形状的骰子，其由黄金制成，每个面上都写有数字。^[57]

在某些角色扮演的桌上游戏中，二十面骰子通常用来决定一个动作的成败。例如《龙与地下城》的二十面骰子（标记为 d20）就是用来决定一个玩家在某一轮中动作的成败。二十面体骰子可以在面上标记“0”到“9”以填满其20个面，这种情况下的二十面骰通常会作为十面骰（d10）使用；大多数现代版本的二十面体骰子上面的编号会从从“1”编到“20”。^[58]《Scattergories》是另外一种有使用到正二十面体骰子的桌上游戏。玩家必须在规定的时间内，给出以骰子掷出之字母开头，以及其所对应卡片的名称或术语。^[60]

在生物学中

某些病毒，如疱疹病毒科、诺罗病毒、腺病毒和噬菌体等，拥有正二十面体的衣壳。^[61][62]该壳由具BMC结构域（英语：BMC domain）的不同蛋白质构成，可以包住酶和不稳定的中间产物。此外，在某些细菌中还发现具有二十面体形状的胞器。^[63]

1904年，恩斯特·海克尔发表了一些关于新品种放射虫的发现。恩斯特·海克尔将放射虫新物种命名为“Circogonia二十面体”（Circogonia icosahedra）。这种放射虫骨架的形状像一个正二十面体。^[64][65]

• 
  二十面的骰子
• 
  Dogic（英语：Dogic），以正二十面体为外型的魔术方块
• 
  电子显微镜下观察的金原子
• 
  γ-硼的结构
• 
  噬菌体
• 
  “Circogonia二十面体”放射虫