Pierwiastek kwadratowy z 5

Pierwiastek kwadratowy z liczby 5 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 5) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 5. Oznaczana jest zwykle przy użyciu symbolu pierwiastkowania jako:

${\displaystyle {\sqrt {5}}.}$

Przedstawienia

Dwójkowo	10.0011110001101111...
Dziesiętnie	2.23606797749978969...
Szesnastkowo	2.3C6EF372FE94F82C...
Ułamek łańcuchowy	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}$

Jest to niewymierna liczba algebraiczna; jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 59 miejsca po przecinku^[1] wynosi:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089…

W listopadzie 2019 wartość pierwiastka kwadratowego z liczby 5 w systemie dziesiętnym została wyznaczona z dokładnością co najmniej 2 000 000 000 000 cyfr^[2].

Liczba przybliżona 2,236 określa jego wartość z dokładnością 0,01%. Bliskim ułamkiem jest ${\displaystyle {\tfrac {161}{72}}}$ (2,2361 11111...), choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 72, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10000.

Dowód niewymierności

Niech ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne ${\displaystyle m}$ oraz ${\displaystyle n,}$ że ${\displaystyle {\sqrt {5}}=m/n,}$ przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi), otrzymuje się ${\displaystyle 5=m^{2}/n^{2},}$ skąd ${\displaystyle 5n^{2}=m^{2}.}$ Ponieważ ${\displaystyle 5n^{2}}$ jest liczbą podzielną przez 5, to i ${\displaystyle m^{2}}$ jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5^[a]; stąd liczba ${\displaystyle m}$ jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna ${\displaystyle k,}$ dla której ${\displaystyle m=5k.}$ Podstawienie tego równania do poprzedniego daje ${\displaystyle m^{2}=(5k)^{2}=25k^{2},}$ zatem ${\displaystyle 5n^{2}=25k^{2},}$ tj. ${\displaystyle n^{2}=5k^{2},}$ co ponownie oznacza, że liczba ${\displaystyle n^{2},}$ a stąd i ${\displaystyle n,}$ jest podzielna przez 5.

Skoro tak ${\displaystyle m,}$ jak i ${\displaystyle n}$ są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ jest niewymierna.

Geometria

Geometrycznie ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ jest długością przekątnej prostokąta o bokach 1 i 2, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Prostokąt taki można uzyskać przez połowienie kwadratu lub połączenie dwóch identycznych kwadratów bokami. Korzystając z algebraicznej relacji między ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ a ${\displaystyle \varphi ,}$ można wprost przejść do geometrycznej konstrukcji złotego prostokąta z kwadratu.

Złoty podział

Konstrukcja złotego prostokąta

Wartość √5 występuje przy zapisywaniu wartości złotej liczby w postaci ułamka zwykłego

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}},}$

jak również jej odwrotności

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$

Przekształcając powyższe wzory, można zauważyć, że

${\displaystyle {\sqrt {5}}=2\varphi -1=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.}$

Zobacz też

• metody obliczania pierwiastka kwadratowego
• pierwiastek kwadratowy
• pierwiastek kwadratowy z 2
• pierwiastek kwadratowy z 3
• pierwiastkowanie
• złoty podział

Uwagi

1. Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej ${\displaystyle n^{2}}$ jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n}$ jest liczbą podzielną przez 5. Dowód: (→) Jeśli

   ${\displaystyle n=5k,}$

   to równość

   ${\displaystyle n^{2}=(5k)^{2}=25k^{2}=5(5k^{2})}$

   oznacza, że ${\displaystyle n^{2}}$ jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro

   ${\displaystyle p=5k+1}$

   ${\displaystyle q=5k+2}$

   ${\displaystyle r=5k+3}$

   ${\displaystyle s=5k+4,}$

   to

   ${\displaystyle p^{2}=(5k+1)^{2}=25k^{2}+10k+1=5(5k^{2}+2k)+1}$

   ${\displaystyle q^{2}=(5k+2)^{2}=25k^{2}+20k+4=5(5k^{2}+4k)+4}$

   ${\displaystyle r^{2}=(5k+3)^{2}=25k^{2}+30k+9=5(5k^{2}+6k+1)+4}$

   ${\displaystyle s^{2}=(5k+4)^{2}=25k^{2}+40k+16=5(5k^{2}+8k+3)+1,}$

   czyli ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle q^{2},}$ ${\displaystyle r^{2}}$ i ${\displaystyle s^{2}}$ są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.
   Q.e.d.