Триакісікосаедр

Триакісікосаедр (від дав.-гр. τριάχις — «тричі», εἴκοσι — «двадцять» і ἕδρα — «грань») — напівправильний многогранник (каталанове тіло), двоїстий зрізаному додекаедру. Складений зі 60 однакових тупокутних рівнобедрених трикутників, у яких один із кутів дорівнює ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {3+3{\sqrt {5}}}{20}}\right)\approx 119{,}04^{\circ }}$, а два інші ${\displaystyle \arccos \,{\frac {15+{\sqrt {5}}}{20}}\approx 30{,}48^{\circ }}$.

Триакісікосаедр
Тип	каталанове тіло
Граней	V3.10.10 60 рівнобедрених трикутників:
Ребер	90
Вершин	32
Конфігурація вершин	20(33) 12(310)
Діаграма Коксетера
Група симетрії	Ih (ікосаедрична)
Двогранний кут (градуси)	160°36′45″ ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {24+15{\sqrt {5}}}{61}}\right)}$
Дуальний многогранник	зрізаний додекаедр
опуклий, ізоедральний
Розгортка

Має 32 вершини; в 12 вершинах (розташованих так само, як вершини ікосаедра) сходяться своїми гострими кутами по 10 граней, у 20 вершинах (розташованих так само, як вершини додекаедра) сходяться тупими кутами по 3 грані.

У триакісікосаедра 90 ребер — 30 довших (розташованих так само, як ребра ікосаедра) і 60 коротших (разом утворюють фігуру, ізоморфну — але не ідентичну — кістяку ромботриаконтаедра). Двогранний кут при будь-якому ребрі однаковий і дорівнює ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {24+15{\sqrt {5}}}{61}}\right)\approx 160{,}61^{\circ }}$.

Триакісікосаедр можна отримати з ікосаедра, приклавши до кожної його грані правильну трикутну піраміду з основою, що дорівнює грані ікосаедра, і висотою, яка в ${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {15}}+9{\sqrt {3}}}{2}}\approx 17{,}48}$ разів менша від сторони основи. При цьому отриманий многогранник матиме по 3 грані замість кожної з 20 граней початкового, що й пояснює його назву.

Триакісікосаедр — одне з шести каталанових тіл, у яких немає гамільтонового циклу^[1]; гамільтонового шляху у всіх шести також немає.

Метричні характеристики

Якщо коротші ребра триакісікосаедра мають довжину ${\displaystyle a}$, то його довші ребра мають довжину ${\displaystyle {\frac {1}{10}}\left(15+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}72a,}$ а площа поверхні та об'єм виражаються як

Напіввписана сфера триакісікосаедра

${\displaystyle S=3{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(173-9{\sqrt {5}}\right)}}\;a^{2}\approx 26{,}2285960a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}\left(19+13{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 12{,}0172209a^{3}.}$

Радіус вписаної сфери (що дотикається до всіх граней многогранника в їхніх інцентрах) при цьому дорівнює

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{122}}\left(477+199{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 1{,}3745174a,}$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер)

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{10}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}3944272a.}$

Описати навколо триакісікосаедра сферу — так, щоб вона проходила через усі вершини, — неможливо.

Пов'язані многогранники

Сімейство однорідних ікосаедричних багатогранників

Симетрія: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Двоїсті до однорідних багатогранників
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5