Modulo de Young

En solida mekaniko, modulo de Young (E) estas mezuro de la malmoleco de izotropa elasta materialo. Ĝi estas ankaŭ sciata kiel la elasta modulo, modulo de elasteco (kvankam la elasta modulo estas reale nur unu el kelkaj, inter kiuj estas la ampleksa modulo kaj la tonda modulo). Ĝi estas difinita kiel la rilatumo de la unuaksa streĉo al la unuaksa tensio en la limigo de streĉo tia, ke la leĝo de Hooke veras. Ĉi tio povas esti eksperimente difinita de la inklino de streĉo-tensia kurbo de dilataj testoj de specimeno de la materialo.

La elasta modulo priskribas konduton de relative longa specimeno el izotropa elasta materialo je dilata aŭ kunprema ŝarĝo. Por dilata ŝarĝo, la specimeno povas esti arbitre maldika, ekzemple drato, fibro aŭ fadeno povas esti konsiderata. Por kunprema ŝarĝo, tro maldika specimeno povas montri malstabilecon de maldika specimeno. Tipa rilatumo de longo al diko de la specimeno dum la provoj estas 10:1.

Ankaŭ la kruco-sekcia areo de la objekto ŝanĝiĝas kiam forto estas aplikata, ĉi tiu fenomeno ne estas konsiderata en ĉi tiu okazo, kaj la valoro E temas pri okazo en kiu la objekto havas liberan eblecon ŝanĝi sian kruco-sekcian areon, ne estas iuj ajn obstakloj deflanke.

Por multaj materialoj, elasta modulo estas esence konstanto por sufiĉe granda limigo de tensioj. Ĉi tiaj materialoj estas do linearaj, alivorte ili obeas la leĝon de Hooke. Ekzemploj de linearaj materialoj estas ŝtalo, vitro, karbona fibro. Kaŭĉuko kaj grundoj estas ne-linearaj materialoj, escepte de okazo de tre malgrandaj tensioj.

Elasta modulo E povas esti kalkulita per divido de la streĉo per la tensio:

${\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {\frac {F}{A_{0}}}{\frac {\Delta L}{L_{0}}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}}$

kie E estas la elasta modulo

F estas la forto aplikata al la objekto;

A₀ estas la originala kruco-sekcia areo tra kiu la forto estas aplikata;

ΔL estas la kvanto per kiu la longo de la objekto ŝanĝiĝas;

L₀ estas la originala longo de la objekto.

Tiel forto farata de streĉita aŭ kunpremita materialo estas

${\displaystyle F={\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}}$

La konstanto k de la leĝo de Hooke, kiu priskribas la malmolecon, povas esti derivita el ĉi tiu formulo.

${\displaystyle F=\left({\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\right)\Delta L=kx}$

kie x = ΔL. Do

${\displaystyle k={\frac {EA_{0}}{L_{0}}}}$

Elasta modulo povas iom variĝi pro diferencoj en specimena komponaĵo kaj prova maniero. La kurzo de malformigado havas la plej grandan influon sur la datumojn, aparte por polimeroj.

Notu, ke elasta modulo estas priskribo de malmoleco de materialo, ne de konstruaĵo. Kvankam kiel materialo polietileno estas pli mola ol ŝtalo, dika aĵo de polietileno povas esti pli malmola ol maldika aĵo de ŝtalo

Mezurunuoj

Elasta modulo estas la rilatumo de streĉo, kiu havas unuojn de premo, kaj tensio, kiu estas sendimensia. Tiel elasta modula havas mezurunuoj de premo.

La SI-a unuo de modulo de elasteco estas la paskalo (Pa), kiu egalas al N/m².

La praktikaj unuoj estas megapaskalo (MPa aŭ N/mm²) aŭ gigapaskaloj (GPa aŭ kN/mm²).

En usonaj kutimaj unuoj, elasta modula estas esprimata en pundoj por kvadrata colo.

Neizotropaj materialoj

Elasta modulo estas ne ĉiam la sama en ĉiuj orientiĝoj de materialo. Plejparto de metaloj, ceramikoj kaj la aliaj materialoj estas izotropaj, kio estas ke iliaj mekanikaj propraĵoj estas la samaj en ĉiuj direktoj.

Tamen, estas materialoj kies propraĵoj ne estas la samaj en ĉiuj direktoj. Ekzemple metaloj povas esti mekanike prilaboritaj tiel ke iliaj grajnaj strukturoj estas direktitaj. Ĉi tiuj materialoj tiam iĝi neizotropajn, kaj elasta modulo tiam estas dependanta de tio je kiu direkto la forto estas aplikita.

Neizotropeco okazas en multaj komponigitaj materialoj. Ekzemple, plasto kun karbonfibro havas multe pli grandan elastan modulon (estas multe malpli elasta) se forto estas aplikata paralele al la fibroj (laŭ la grajnoj). Aliaj ĉi tiaj materialoj estas ligno kaj ŝtalbetono.

Elasta potenciala energio

La elasta potenciala energio U_e estas donita per la integralo de esprimo por la forto kun respekto al movo ΔL:

${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\int {\Delta L}\,d\Delta L={\frac {EA_{0}{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}}$

La elasta potenciala energio por unuobla volumeno estas:

${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}L_{0}}}={\frac {E{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$

kie ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$ estas la tensio en la materialo.

Ĉi tiu formulo povas ankaŭ esti esprimita kiel la integralo de la leĝo de Hooke:

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Rilato inter elastaj konstantoj

Por homogenaj izotropaj materialaj ekzistas interrilatoj inter elastaj konstantoj (elasta modulo E, tonda elasta modulo G, ampleksa modulo K, kaj rilatumo de Poisson ν):

E = 2G(1+ν) = 3K(1-2ν)

Valoroj de elasta modulo

Jen estas proksimumaj valoroj de elasta modulo por diversaj materialoj.

Puraj metaloj kaj metalo-similaj elementoj

Materialo	Elasta modulo, MPa
Arĝento (Ag)	83000
Aluminio (Al)	69000
Oro (Au)	78000
Bario (Ba)	13000
Berilio (Be)	240000 ??? 287000
Bismuto (Bi)	32000
Kadmio (Cd)	50000
Kobalto (Co)	209000
Kromo (Cr)	289000
Cezio (Cs)	1700
Kupro (Cu)	124000 ??? 117000
Fero (Fe)	196000
Germaniumo (Ge)	89600
Indio (In)	11000
Iridio (Ir)	528000
Litio (Li)	4900
Magnezio (Mg)	45000
Mangano (Mn)	198000
Molibdeno (Mo)	329000
Natrio (Na)	10000
Niobio (Nb)	105000
Nikelo (Ni)	214000 ??? 200000
Osmio (Os)	550000
Plumbo (Pb)	16000 ??? 18000
Paladio (Pd)	121000
Plateno (Pt)	168000
Plutonio (Pu)	96000
Rubidio (Rb)	2400
Rodio (Rh)	275000
Rutenio (Ru)	447000
Skandio (Sc)	74000
Seleno (Se)	10000
Stano (Sn)	41500
Tantalo (Ta)	186000
Titano (Ti)	114000 ??? 105000
Uranio (U)	208000
Vanado (V)	128000
Volframo (W)	406000
Zinko (Zn)	78000
Zirkonio (Zr)	68000

Metalaj alojoj

Materialo	Elasta modulo, MPa
Aluminia alojo AU4G	75000
Konstrua ŝtalo	210000
Risorta ŝtalo	220000
Rustorezista ŝtalo 18-10	203000
Bronzo (kupro kun 9...12% de stano)	124000
Berilia bronzo	130000
Latunoj (Cu kaj Zn) kaj bronzoj (Cu kaj Sn)	78000 ... 125000
Titanaj alojoj	105000 ... 120000

Vitroj, ceramikoj, mineraloj

Materialo	Elasta modulo, MPa
Arseno	8000
GaAs	85500
Alte forteca betono (sub kunpremo)	30000
Betono	20000 ... 50000
Briko	14000
Karbido de kromo (kroma karbido) (Cr3C2)	373130
Karbido de silicio (silicia karbido) (SiC)	450000
Karbido de titano (titana karbido) (TiC)	440000
Karbido de volframo (volframa karbido) (WC)	650000 ??? 450000 ... 650000
Karbido de zirkonio (zirkonia karbido) (ZrC)	380000 ... 440000
Solo-mura nanotubo	1000000+
Diamanto (C)	1000000 ??? 1220000
Grafito (C)	30000
Granito	60000
Kalkoŝtono (CaCO3, ŝtonoj)	20000 ... 70000
Marmoro (CaCO3)	26000
Al6Se2O13	145000
Aluminia oksido (Al2O3)	390000
Oksido de berilio (BeO)	30000
Oksido de magnezio (MgO)	250000
Oksido de zirkonio (ZrO)	200000
Safiro (Al2O3)	420000 ??? laŭ C-akso 435000
Oksido de silicio (SiO2)	107000
Ti3Al	140000
BaTiO3	67000
Vitro	69000 ??? (50000 ... 90000)
Vitro (SiO2, Na2CO3, CaCO3)	72000
Multkristala itria fera grenato	193000
Solo-kristala itria fera grenato	200000
Glacio (H2O)	3000

Lignoj

Materialo	Elasta modulo, MPa
Bambuo (laŭ longo de grajnoj)	20000
Roza ligno (Brazilo) (laŭ longo de grajnoj)	16000
Roza ligno (Barato) (laŭ longo de grajnoj)	12000
Piceo (laŭ longo de grajnoj)	13000
Mahagono (Afriko) (laŭ longo de grajnoj)	12000
Kverko (laŭ longo de grajnoj)	11000 ??? 12000
Acero (laŭ longo de grajnoj)	10000
Frakseno (laŭ longo de grajnoj)	10000
Pino (laŭ longo de grajnoj)	8963
Papero	3000 ... 4000
Mezo-denseca ligna fibra tabulo	3654
Ligno perpendikulare al grajnoj	230 ... 1330

Polimeroj

Materialo	Elasta modulo, MPa
Gumo (malgranda tensio)	10 ... 100
Plasto armaturizita per vitra fibro (70/30 per de pezo de fibro/matrico, unudirekta, laŭ grajnoj)	40000 ... 45000
Plasto armaturizita per karbona fibro (50/50 fibro/matrico, unudirekta, laŭ grajnoj)	125000 ... 150000
Kevlaro	34500
Nilono	2000 ... 5000
Organika vitro	2380
Polikvarfluoretileno	500
Malalte denseca polietileno	200
Alte denseca polietileno	800
Polistireno	3000 ... 3400
Poliestero	1000 ... 5000
Polipropileno	1500 ... 2000
Polietilena tereftalato	2000 ... 2700

Biologiaj materialoj

Materialo	Elasta modulo, MPa
Kartilago	24
Karapaco de diatomeo (grandparte silicia acido)	350 ... 2770
Haro	10000
Kolageno	6
Femurosto	17200
Osto	18000 ... 21000
Humero	17200
Dorno de marerinaco	15000 ... 65000
Silko de araneo	60000
Tibio	18100
Kol-vertebraro	230
Perlamoto (grandparte kalcia karbonato)	70000
Emajlo de dento (grandparte kalcia fosfato)	83000

Historio

Elasta modulo estas nomita post brita sciencisto Thomas Young (1773 - 1829). Tamen, la koncepto estis ellaborita en 1727 de Leonhard Euler, kaj la unuaj eksperimentoj kiuj uzis la koncepton de elasta modulo en ĝia aktuala formo estis plenumitaj de itala sciencisto Giordano Riccati en 1782, je 25 jaroj antaŭ la laboro de Young.

Vidu ankaŭ

• Leĝo de Hooke
• Elasteca limigo
• Tonda elasta modulo
• Ampleksa modulo
• Rilatumo de Poisson
• Fleksa malmoleco
• Impulsa ekscita tekniko
• Dekliniĝo
• Malformigado
• Dureco

Eksteraj ligiloj

• Matweb: libera datumbazo de inĝenieradaj propraĵoj de pli ol 63000 materialoj
• Elasta modulo por grupoj de materialoj
• Elasta modulo kiel funkcio de temperaturo
• Propraĵoj de kaŭĉuko Arkivigite je 2009-08-31 per la retarkivo Wayback Machine
• Internacia Unio de Pura kaj Aplika Kemio. "Modulo de elasteco"
• Proksimumaj voloroj de elasta modulo por diversaj materialoj
• M. Staines, W. H. Robinson and J. A. A. Hood (1981). Spherical indentation of tooth enamel - Sfera krommarĝeno de emajlo de dento. Journal of Materials Science - Ĵurnalo de Materiala Scienco. - pri propraĵoj de emajlo
• A. P. Jackson,J. F. V. Vincent and R. M. Turner (1988). The Mechanical Design of Nacre - La mekanika dizajno de perlamoto. Proc. R. Soc. Lond. B 234 415-440.
• Chou, H. M.; Case, E. D. (Novembro, 1988). Characterization of some mechanical properties of polycrystalline yttrium iron garnet (YIG) by non-destructive methods - Karakterizado de iuj mekanikaj propraĵoj de multkristala itria fera grenato (YIG) per ne-detruaj manieroj. Journal of Materials Science Letters - Ĵurnalo de Leteroj de Materiala Scienco 7 (11) 1217–1220. COI:10.1007/BF00722341.
• Propraĵoj de itria fera grenato Arkivigite je 2009-02-25 per la retarkivo Wayback Machine
• Elektronikaj kaj mekanikaj propraĵoj de karbonaj nanotuboj Arkivigite je 2005-10-29 per la retarkivo Wayback Machine

Izotropa prema modulo K • Modulo de Young E • Unua parametro de Lamé λ • Tonda elasta modulo G • Rilatumo de Poisson ν • P-onda modulo M
Konvertaj formuloj
(propraĵoj de izotropa materialo estas plene difinitaj per iuj du el la valoroj, la aliaj povas esti kalkulitaj)
	(λ, G)	(E, G)	(K, λ)	(K, G)	(λ, ν)	(G, ν)	(E, ν)	(K, ν)	(K, E)	(M, G)
K=	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$			${\displaystyle \lambda {\tfrac {1+\nu }{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$			${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$
E=	${\displaystyle G{\tfrac {3\lambda +2G}{\lambda +G}}}$		${\displaystyle 9K{\tfrac {K-\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$		${\displaystyle G{\tfrac {3M-4G}{M-G}}}$
λ=		${\displaystyle G{\tfrac {E-2G}{3G-E}}}$		${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$
G=			${\displaystyle 3{\tfrac {K-\lambda }{2}}}$		${\displaystyle \lambda {\tfrac {1-2\nu }{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle 3K{\tfrac {1-2\nu }{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$
ν=	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$					${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
M=	${\displaystyle \lambda +2G\,}$	${\displaystyle G{\tfrac {4G-E}{3G-E}}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle \lambda {\tfrac {1-\nu }{\nu }}}$	${\displaystyle G{\tfrac {2-2\nu }{1-2\nu }}}$	${\displaystyle E{\tfrac {1-\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle 3K{\tfrac {1-\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle 3K{\tfrac {3K+E}{9K-E}}}$