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En mathématiques, certaines fonctions ont une dénomination usuelle, dépendant éventuellement d'un ou plusieurs paramètres numériques, qui les définit précisément. Il peut s'agir de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, voire de fonctions arithmétiques.
nulle (x ↦ 0) | constantes (x ↦ C) | affines (x ↦ ax+b) |
identité (x ↦ x) | linéaires (x ↦ ax) | |
carré (x ↦ x2) | second degré (x ↦ ax2+bx+c) | polynomiales (x ↦ P(x)) |
cube (x ↦ x3) | puissances (x ↦ xn) | |
inverse (x ↦ 1/x) | homographiques (x ↦ ax+bcx+d) | rationnelles (x ↦ P(x)Q(x)) |
lorentziennes | ||
racine carrée (x ↦ √x) | racine cubique (x ↦ 3√x) |
À partir des fonctions constantes (dont la valeur est indépendante de la variable) et de la fonction identité (dont la valeur est égale à la variable), combinées par addition et multiplication, il est possible de définir toutes les fonctions polynomiales, parmi lesquelles se trouvent les fonctions puissance à exposant entier positif. L'utilisation supplémentaire de l'opération de division permet d'obtenir toutes les fonctions rationnelles, dont les fonctions puissance à exposant négatif.
Les réciproques de ces fonctions ont donc une valeur qui est solution d'une équation polynomiale en la variable, comme dans le cas des fonctions racines. Plus généralement, les fonctions dont la variable et la valeur sont reliées par une équation polynomiale à deux inconnues sont appelées fonctions algébriques.
valeur absolue (x ↦ |x|) signe (sgn) |
partie entière (E : x ↦ [x]) partie fractionnaire (x ↦ {x}) |
porte (Π) rampe |
fonction de Heaviside (H) – fonctions de Walsh (Wj) – ondelettes de Haar (hk)
compte des nombres premiers (π) – fonctions de Tchebychev (ϑ, ψ) |
Certaines fonctions classiques peuvent être définies par recollement de fonctions plus simples, notamment affines. Elles admettent alors des expressions algébriques différentes sur des intervalles disjoints, telles la valeur absolue, le signe et les parties entière et fractionnaire.
D'autres exemples sont donnés par certaines fonctions caractéristiques d'un ensemble comme la fonction de Heaviside.
sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tan), cotangente (cot), sécante (sec), cosécante (csc) et leurs réciproques : arc sinus (arcsin), arc cosinus (arccos), arc tangente (arctan), arc cotangente (arccot), arc sécante (arcsec), arc cosécante (arccsc), involute (inv)…
noyau de Dirichlet (Dn) – noyau de Fejér (Fn) – sinus cardinal (sinc) – Carotid–Kundalini (CKn) – fonction de phase de Henyey-Greenstein (P) |
exponentielle (exp) – de base a (expa) – double – étirée
logarithmes : décimal (log) – népérien (ln) – complexe (Log) |
cosinus hyperbolique (cosh) – argument cosinus hyperbolique (arcosh) sinus hyperbolique (sinh) – argument sinus hyperbolique (arsinh) tangente hyperbolique (tanh) – argument tangente hyperbolique (artanh)… |
gamma (Γ) – digamma (Ψ) – polygamma – gamma incomplète – multidimensionnelle – bêta (Β) – bêta incomplète – Fonction G de Barnes – Fonction K
Fonction de Bose (gσ) – Legendre (Pλμ, Qλμ)– Mittag-Leffler (Eαβ) |
logarithme intégral (Li) – exponentielle intégrale (Ei) sinus intégral (Si) – cosinus intégral (Ci) fonction d'erreur (erf) – fonctions de Dawson (D+, D−) fonctions de Voigt (V) – fonctions de Pearson – fonction de Gudermann (gd) – Owen (T) – Bickley-Naylor (Kin) |
fonction elliptique de Jacobi (sn, cn, dn)
fonction elliptique de Weierstrass (℘) – zêta (ζ) de Weierstrass – thêta (ϑ) – modulaire (λ) |
fonctions de Bessel (Jn) – modifiées (In, Kn) – sphériques (jn, yn) – Neumann (Yn) – Hankel (Hα) – Kelvin-Bessel (berν, beiν, kerν, keiν)
fonctions d'Airy (Ai, Bi) – Scorer (Gi, Hi) – Q de Marcum harmoniques sphériques (Yl,m) – ellipsoïdales |
fonctions zêta (ζ) de Riemann – Dedekind – Hasse-Weil – Hurwitz – Lerch
fonctions êta (η) de : Dedekind – Dirichlet fonction bêta (β) de Dirichlet – fonction chi (χ) de Legendre hypergéométrique confluente – polylogarithme (Lin) |
Certaines fonctions sont définies avec des irrégularités non isolées :
D'autres fonctions sont définies par morceaux comme les splines, la fonction de Dickman (ρ) ou la somme de Dedekind (s).
factorielle (!) – indicatrice d'Euler (φ) – fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs (σk) – partition d'un entier (p) – totient de Jordan (Jk) – grand omega (Ω) – fonction de Möbius (μ) – Landau (g) – Liouville (λ) – von Mangoldt (Λ) – Mertens (M) – fonction 91 de McCarthy |
Elles sont définies pour chaque entier naturel (à l'exclusion éventuelle de zéro), souvent à l'aide d'un dénombrement d'un ensemble directement associé aux propriétés arithmétiques de cet entier ou des entiers inférieurs.
fonction d'Ackermann (A) – Carmichael (λ) – castor affairé (Σ) – Collatz – comète de Goldbach (g) – fonction de Sudan – Takeuchi (τ)
symbole de Kronecker (δ) – symbole de Levi-Civita (ε) |
Certaines fonctions en théorie de la calculabilité sont obtenues à partir d'une formulation à plusieurs variables.
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