이론 (논리학)

수학 및 논리학에서 공리계 또는 공리 시스템(axiomatic system 또는 axiom system)은 이론 컴퓨터 과학에서도 사용되는 표준적인 종류의 연역적 논리 구조이다. 이것은 다른 진술의 논리적 귀결을 위해 사용되는 공리로 알려진 형식적인 진술 집합으로 구성된다. 수학에서 공리의 이러한 논리적 결과는 보조정리 또는 정리로 알려질 수 있다. 수학 이론은 공리계와 모든 파생된 정리들을 지칭하는 데 사용되는 표현이다.

공리계 내에서의 증명은 새로운 진술을 공리의 결과로 확립하는 일련의 연역적 단계이다. 그 자체로 공리 시스템은 의도적으로 통사적 구성이다. 공리가 책과 기술 논문에서 흔히 사용되는 자연어로 표현될 때, 명사는 플레이스홀더 단어로 의도된다. 공리적 접근 방식의 사용은 명사가 실제 세계의 의미적 가치를 가질 수 있는 비형식적 추론에서 벗어나 형식적 증명으로 향하는 움직임이다. 완전히 형식적인 환경에서는 술어 논리와 같은 논리 시스템이 증명에 사용되어야 한다. 형식적 공리적 추론의 현대적 적용은 의미론적 고려 사항의 배제와 사용 중인 논리 시스템의 사양이라는 점에서 전통적인 방법과 다르다.

수학의 공리적 방법

명제 집합을 특정 공리 모음으로 축소하는 것은 수학 연구의 기본을 이룬다. 이러한 의존성은 20세기 전반의 수학에서 매우 두드러지고 논란이 많았으며, 이 시기는 공리적 방법의 주요 이정표 중 일부가 속한다. 안드레이 콜모고로프의 1933년 확률의 공리는 두드러진 예이다.^[1] 이 접근 방식은 수학자들과 수학을 적용하는 사람들의 직관의 일부를 잘라냈기 때문에 때때로 "형식주의"로 공격받았다. 역사적 맥락에서 이 주장된 형식주의는 현재 연역주의로 논의되며, 여전히 수학에 대한 널리 퍼진 철학적 접근 방식이다.^[2]

1900년까지의 공리계의 타임라인

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주요 공리계는 19세기에 개발되었다. 여기에는 비유클리드 기하학, 게오르크 칸토어의 추상 집합론, 그리고 힐베르트의 유클리드 기하학에 대한 수정주의적 공리가 포함되었다.

날짜	저자	저서	비고
기원전 4세기부터 기원전 3세기	알렉산드리아의 에우클레이데스	에우클레이데스의 원론	유클리드 평면 기하학에 대한 현존하는 가장 초기 공리적 제시로 알려져 있으며, 수론의 일부도 다룬다.[3]
1677년 출판	바뤼흐 스피노자	에티카	1663년의 Principia philosophiae cartesianae와 마찬가지로, 스피노자는 그의 에티카에서 에우클레이데스의 "기하학적 방법"을 사용했다고 주장했다. 현대적인 견해는 "명백한 공리로부터 연역적 논증을 통해 주장을 증명하려는 열망과 삶의 경험 및 기껏해야 이론과 직관의 혼합으로부터의 명백한 원천 사이의 대조가 눈에 띈다"는 것이다.[4]
1829	니콜라이 로바쳅스키	О началах геометрии ("기하학의 기원에 대하여")	로바쳅스키의 논문은 현재 에우클레이데스의 평행 공리 없이 개발된 평면 기하학에 대한 최초의 출판물로 인정받고 있으며, 이로써 비유클리드 기하학이라는 주제를 창립했다.
1879	고틀로프 프레게	개념 표기법	프레게는 수학의 기초를 위한 형식 시스템을 출판했다. 현대 용어로는 2차 논리였으며,[5] 동일성 관계를 가졌다. 이것은 파스 트리를 위한 선형 표기법으로 표현되었다.
1882/3년부터 1890년대	발터 폰 딕	추상 군론의 공리	폰 딕은 현재 표준적인 군론 공리들을 제시한 것으로 인정받는다.[6] 폰 딕이 자유군을 도입한 것으로 보아 그는 추상군의 표준 개념으로 작업했음이 분명하다. 그러나 역원의 존재가 공리적이었는지 여부는 명확하지 않다. 이는 군이 순열군 (순열은 정의상 역가능함) 또는 동일한 속성을 가진 기하학적 변환이라는 의미론적 가정에서 비롯될 수 있다. 당시의 서술적인 스타일은 그러한 점들을 강조하지 않았다. 미국 "공리 이론가" 중 한 명인 제임스 피어폰트는 1896년까지 군에 대한 공리 집합을 가지고 있었다. 이는 현대적인 유형이지만, 예를 들어 항등원의 유일성은 가정되지 않았다.[7]
1888	리하르트 데데킨트	실수의 구성	데데킨트가 데데킨트 절단을 통해 실수를 구성하는 방법을 도입했을 때, 실수의 공리는 이미 수학적 상식이었다. 이들 중 일부는 나중에 순서체를 정의할 것이다. 추가 요구 사항은 수학적 극한의 이론이었다.[8] 예를 들어, 실직선이 선형 연속체를 형성한다는 생각을 포착하는 것은 역사적인 제논의 역설을 다루는 것을 의미하며, 또한 0.999…=1과 같이 소수 표현이 유일하지 않은 문제를 명확히 하여 수학적 증명에 따르도록 해야 한다. 데데킨트의 실수 공리 모델링은 이러한 문제들을 확고한 기반 위에 놓았다. 실제로는 데데킨트 절단을 사용하여 실해석학의 근본적인 결과인 정리들을 코시 열과 같은 다른 구성을 사용하여도 증명할 수 있었다. 즉, 그것들은 검증 가능한 공리였으며, 그 예로는 아르키메데스 성질이 있다.
1889	주세페 페아노	Arithmetices principia, nova methodo exposita	다른 사람들의 초기 작업 이후, 페아노 공리계는 자연수와 수학적 귀납법에 대한 산술 연산의 공리적 기반을 제공했으며, 널리 받아들여졌다.
1898	앨프리드 노스 화이트헤드	보편 대수학에 대한 논문	화이트헤드는 조지 불이 논리와 확률에 대한 근본적인 연구에서 도입한 불 논리에 대한 최초의 공리계를 제시했다.[9]
1899	다비트 힐베르트	기하학의 기초	현재 힐베르트 공리계로 알려진, 입체 기하학의 수정된 공리화를 제시했다.

20세기 초의 상황

다비트 힐베르트는 "수학기초론 연구를 위한 탐구 프레임워크로서 공리적 방법을 명시적으로 채택한 최초의 인물"이었다.^[10] 힐베르트에게 중요한 기초 문제 중 하나는 칸토어의 집합론의 논리적 지위였다. 1900년에 발표된 그의 23가지 미해결 수학 문제 목록에서 힐베르트는 연속체 가설을 목록의 첫 번째 문제로 삼았다.^[11]

힐베르트의 여섯 번째 문제는 "수학이 중요한 역할을 하는 모든 과학 분야의 공리화"를 요구했다. 그는 적어도 수리물리학과 확률의 주요 분야를 염두에 두었다.^[12][13] 과학에 미친 영향에 대해 조르지오 이스라엘은 다음과 같이 썼다.

수학자 펠릭스 클라인이 설립한... 데이비드 힐베르트의 영향 아래 괴팅겐 학파는... 집합론, 함수해석학, 양자역학 및 수리논리학에 노력을 기울였다. 이는 확률 이론에서 이론 물리학에 이르기까지 [20세기] 과학을 혁신할 공리적 방법을 방법론적 원칙으로 채택함으로써 이루어졌다.^[14]

이스라엘은 또한 프랑스와 이탈리아에서 이 "독일 모델"과 그 국제적 범위에 대한 문화적 저항에 대해서도 언급한다.^[14] 초기 세계 수학자 대회에서는 프랑스의 앙리 푸앵카레의 수리물리학에 대한 견해를 들었으며, 힐베르트의 목록은 두 번째 대회에 제출되었다.^[15] 이탈리아 대수기하학 학파는 이론 구축 및 교육학에서의 공리적 작업에 대해 다른 태도를 취했다.^[16]

1901년 이후의 공리계 타임라인

1950년까지의 기간 동안 순수수학의 대부분은 널리 받아들여지는 공리적 기초를 얻었다. 공리적 집합론에서는 여러 시스템이 공존했다. 수학은 더 간결하고, 비록 비형식적이지만 덜 서술적인 스타일로 작성되기 시작했다.

반면에 공리적 방법을 근본적인 것으로 간주하는 힐베르트와 관련된 접근 방식은 비판을 받았다. 라위천 에흐베르튀스 얀 브라우어르의 힐베르트의 전체 프로그램에 대한 비판의 일부는 아런트 헤이팅에 의한 직관주의 명제 논리의 공리화로 이어졌다.^[17] 이는 브라우어르-헤이팅-콜모고로프 해석이라는 제목 아래 논리적 계산의 교환을 통해 수학의 구성주의와 "연역주의"를 조화시킬 수 있게 했다.

날짜	저자	저서	비고
1908년부터 1922년	에른스트 체르멜로와 아브라함 프렝켈	체르멜로-프렝켈 집합론	1908년의 체르멜로 집합론을 기반으로, 체르멜로-프렝켈 (ZF) 이론은 명확화된 공리 시스템(단순화된 1차 논리 채택)으로 집합론에 대한 공리적 기초를 제공했다. 선택 공리를 추가함으로써 ZFC 이론은 대부분의 고전 수학에 대한 실용적인 기초를 제공했다.[18]
1910	에른스트 슈타이니츠	Algebraische Theorie der Körper	슈타이니츠는 쿠르트 헨젤의 p-진수 도입의 영향으로 추상 대수학에서 체 개념의 공리적 이론을 제시했다.[19]
1911년부터 1913년	앨프리드 노스 화이트헤드와 버트런드 러셀	수학 원리 (3권)	[집합론의 역설]]을 유형 이론의 특이한 버전(분기 유형 이론)으로 다룬, 수학의 공리적 형식화 원리에 전념한 저서이다. 이 시스템은 외연성의 공리를 포함하지 않는다.[20][21]
1913	헤르만 바일	Die Idee der Riemannschen Fläche[22]	바일은 복소해석학의 리만 곡면 개념을 공리적으로 다루어, 근방 시스템으로 1차원 복소다양체로 정의했다.[23]
1914	펠릭스 하우스도르프	집합론의 기본	이 책에는 바일의 근방 사용을 기반으로 현재 하우스도르프 공간이라고 불리는 것에 대한 공리가 포함되어 있었다.[23]
1915	모리스 프레셰	측도 공간에 대한 추상 측도	처음에 실직선과 유클리드 공간에 도입된 르베그 측도 및 관련 적분 개념은 집합 시스템에서 공리적으로 다루어졌다.[24]
1920	스테판 바나흐	완비 노름 벡터 공간	현재 바나흐 공간으로 알려져 있으며, 함수해석학의 고전적인 설정이다. 초기에는 실수 벡터 공간이 가정되었다.[25]
1921	존 메이너드 케인스	확률에 대한 논문	케인스의 작업은 수학 원리(Principia Mathematica)의 영향 아래 확률을 논리에 종속시켰다. 이는 확률 해석에 대한 공리적 처리를 제공했다.
1921	에미 뇌터	Idealtheorie in Ringbereichen[26]	뇌터의 논문은 가환환에서 아이디얼에 대한 사슬 조건을 공리로 도입하여 현재 뇌터 환이라고 불리는 하위 클래스를 만들었다. 이는 힐베르트 기저 정리의 간단한 귀납적 증명을 가능하게 했다. 또한 추상 대수학의 "시대"의 시작으로도 간주된다.[27][28]
1923	노버트 위너	위너 확률 과정	위너는 브라운 운동의 확률 과정 모델을 정의하는 측도를 구성했다.[29]
1932	오즈월드 베블런과 존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드	미분기하학의 기초 (1932)	[분리 공리]]의 특정 문제를 제외하고, 이 작업은 미분 다양체의 인정된 공리적 정의를 제공했다.[30]
1932	존 폰 노이만	양자역학의 수학적 기초, 디랙–폰 노이만 공리	폰 노이만의 1927년 논문으로 거슬러 올라가는 양자역학의 수학 공식화에 대한 기여로, 폴 디랙의 표기법을 형식적으로 모델링하여 양자역학의 창립 작업을 공리화할 것을 제안했다. 이는 추상 힐베르트 공간 방법과 비유계 작용소를 사용했다.[31]
1933	안드레이 콜모고로프	확률의 공리	콜모고로프의 작업은 사실상 수학적 확률을 측도론에 종속시켰고, 그 해석은 열어두었다. 따라서 기댓값을 르베그 적분 위에 구축했다.[32] 세기 초의 게오르크 볼만 이후로 수많은 공리적 공식화가 있었다. 확률을 시그마 가산 집합 함수로 정하는 것이 결정적이었다.[33]
1945	사무엘 에일렌베르크와 노먼 스틴로드	에일렌베르크-스틴로드 공리	대수적 위상수학의 호몰로지 이론을 위한 공리계로, 뇌터가 호몰로지 클래스를 추상 대수학 원리에 따라 조직해야 한다고 주장한 이후의 발전을 반영했다.[27]
1945–1950	로랑 슈바르츠	분포 이론	시험 함수의 위상 벡터 공간에 대한 쌍대성을 사용하여 슈바르츠는 디랙 델타 함수 및 여러 다른 형식적 연산자 방법과 전류의 기하학적 이론에 대한 통합된 공리적 처리를 제공했다.[34]

20세기 중반의 상황

1950년 수학의 세 가지 주요 특징은 다음과 같다.

• 부르바키 그룹의 수학 원론 시리즈의 지속적인 출판. 이는 기초 개념에 대한 백과사전적 처리를 목표로 했다.
• 앙드레 베유의 대수 기하학의 기초 출판 이후 대수기하학 기초의 역동적인 상황.
• 만족스러운 공리적 기초가 부족했던 양자장론(QFT).

부르바키식 공리론

부르바키의 목표는 (a) 집합론의 최소화된 논리적 기초에 기반을 둔 공리적인, (b) 물리학과 계산의 요구를 제외한 힐베르트와 괴팅겐 학파의 전통에 따른, (c) 현재 발전 상황에 대한 프랑스의 수용과 같이 수학의 광범위한 처리를 위한 것이었다. 초기 작업은 20세기 초의 고전 해석학에 대한 표준 교과서인 에두아르 구르사의 Cours d'analyse mathématique에 대한 급진적인 젊은 터키인 반응과 바르털 레인더르트 판데르바르던의 1930년대 초 추상대수학에 대한 Moderne Algebra 교과서에 찬성하여 수행되었다.^[35]

1950년의 익명 논문(실제로는 장 디외도네의 저작)은 부르바키의 공리적 방법에 대한 태도를 설명했다.^[36][37] 공리적으로 작업하는 주요 장점은 수학적 "형식", 즉 수학적 구조의 "정교화"에 있으며, 이는 기초 작업과 추론의 명확화보다 우선시된다고 주장된다. 디외도네가 쓴 내용은 힐베르트의 접근 방식에서 벗어난 당시의 것이었으며, 아직 범주론의 사상이 암시하는 의미의 구조에 도달한 것은 아니었다.^[37]

추상 다양체의 타임라인

유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설 증명 설명을 위해 베유는 곡선의 야코비 다양체와 일부 교차수 이론 결과를 사용했다. 그는 복소수가 아닌 표수 p의 체 위에서 작업했기 때문에 고전적인 결과를 이월하기 위해 순전히 대수적인 증명이 필요했다. 또한 그는 야코비 다양체를 "추상 다양체", 즉 복소 투영 공간에서 발견되는 투영 대수 다양체가 아닌 내재적인 수학적 대상으로 구성하는 방법을 사용했다.

한 세대 후, 로빈 하츠혼의 교과서 대수기하학 출판과 함께 "추상 다양체"는 스키마 이론 내에서 표준적인 정의를 얻었다.^[38]

날짜	저자	저서	비고
1882	리하르트 데데킨트와 하인리히 마르틴 베버	Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen	복소수 위에서 정의된 기약 대수 곡선 C와 그 유리 함수층 F에 대해, 데데킨트와 베버는 F가 그 분수체가 되는 부분환 R을 고려했다. R의 아이디얼 연구는 유한한 수의 예외를 제외하고 C의 점들을 복원했다. 이 설정은 리만-로흐 정리를 증명하기에 충분했다.[39]
1910	에른스트 슈타이니츠	대수적 폐포	모든 체 K는 본질적으로 유일한 대수적 폐포를 가지며, 이는 K에 계수를 가지는 하나의 변수에 대한 모든 다항식의 모든 근으로 구성된다.[40] 대수학의 기본 정리의 내용은 복소수가 실수의 대수적 폐포임을 말한다. 어떤 체 K에 대한 대수기하학은 임의의 수의 변수에 대한 다항식 시스템에 대한 대수적 폐포 내의 해 집합을 연구하는 것으로 개념화될 수 있다.
1911년경–1921년	하인리히 코른블룸 (1890–1914), 에밀 아르틴	국소 제타 함수	코른블룸의 디리클레 등차수열 정리의 다항식 환 유사체에 대한 박사 학위 논문이 L-함수의 비소멸 유사체를 사용한 후, 아르틴의 유한체 위의 초타원 곡선에 대한 박사 학위 논문 Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen는 현재 유한체 위의 다양체의 국소 제타 함수라고 불리는 생성 함수를 논의했다.[41] 유리 함수로서 그것은 명백한 극점을 가졌고; 그 영점은 리만 가설의 유사체로서 연구 주제가 되었다.
1931	프리드리히 카를 슈미트	곡선의 국소 제타 함수에 대한 함수 방정식	바일은 슈미트의 작업(리만-로흐 정리를 적용하여 리만 함수 방정식의 유사체를 증명함)과 하세의 타원곡선 정리가 데데킨트-베버 기초의 단순한 확장을 사용했다고 언급했다. 이는 유한체의 대수적 폐포를 상수 체로 사용했다.[42]
1932	볼프강 크룰	Allgemeine Bewertungstheorie[43]	크룰은 값매김 개념에 대한 공리를 제시했다. 대수 다양체의 함수체의 값매김 집합은 다양체의 쌍유리 기하학과 관련이 있다. 곡선의 경우에만 다양체의 점과의 관계가 단순하다. 값매김에 기반한 위치의 용어는 기하학자 오스카 자리스키와 슈리람 아비얀카르에 의해 사용되었다.[44] 자리스키는 그의 작업이 1930년대부터 데데킨트-베버 논문에 의해 영향을 받았다고 말했다.[39]
1941	앙드레 베유	추상 다양체	1941년 봄 프린스턴에서 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설 증명을 위한 완전한 기초를 시도하던 베유는 대수적 폐포 위의 야코비 다양체를 사용해야 했다. 그는 나중에 에미 뇌터 학파의 대수학자들이 이탈리아 기하학자들의 쌍유리적 관점에 너무 가까웠다고 언급했다. 그의 필요는 대수 곡선의 대칭곱을 통한 야코비 다양체에 대한 쌍유리적 접근 방식으로 충족되지 않았다. 그는 야코비 다양체의 "부분"을 그 가법 구조와 함께 "추상" 다양체로 사용했다. 그는 이 아이디어가 프란체스코 세베리의 Trattato di geometria algebrica: pt. 1. Geometria delle serie lineari (1926), pp. 283–4에서 암시되었음을 발견했다.[45]
1944	오스카 자리스키	자리스키의 추상 리만 곡면 (다양체)	아핀 공간의 대수 집합을 닫힌 집합으로 만드는 자리스키 위상은 자리스키가 프린스턴에서 콜로키움 강연을 한 후 1941년경에 나타났다.[46] 수년 동안 수학적 상식이었던 후, 자리스키는 값매김에 대한 관련 결과를 발표했다. 체 K와 부분환 A에 대해 자리스키는 K에 포함되고 분수체가 K와 같은 값매김환의 집합을 고려했다. K의 모든 그러한 값매김환의 이 부분 집합들은 위상의 열린 집합의 기반을 제공했다. 그리고 자리스키는 기하학적 경우에 값매김환의 공간이 그로 인해 준콤팩트가 됨을 증명했다(즉, 일반적으로 하우스도르프 공간은 아니지만 콤팩트 공간의 열린 덮개 속성을 가짐).[47]
1942–1944	앙드레 베유	추상 다양체를 위한 도표	그의 말에 따르면, 베유는 몇 년 후 출판된 대수 기하학의 기초의 7장을 작업 가정을 가지고 쓰고 있었다. 그는 바일, 하우스도르프, 베블렌과 화이트헤드가 적용한 지도 작성 방법을 채택했다. 그는 다양체에 대해 아직 인쇄되지 않았고 쌍유리 기하학과 관련된 자리스키 위상을 사용하지 않았다. 그는 교차수를 국소적으로만 정의했다.[48]
1954년경	클로드 슈발레	스키마 (마크 I)	슈발레는 값매김과 관련된 국소환과 같은 국소환 집합으로 구성된 기초 개념에 도달했다.[49] 그는 1954년 일본에서 이에 대해 강의했다.[50] 층 이론의 도입과 함께 이는 환 달린 공간으로 간주될 수 있었다. 이 정의는 과도기적이었다.
1956년경	알렉산더 그로텐디크	스키마 이론	각 점이 Spec(A) 형태의 근방을 가지는 환 달린 공간으로서 스키마의 정의와 함께 대수 기하학의 공리적, 추상적 기초에 대한 새로운 시작이 이루어졌다. 여기서 A는 가환환이고 Spec은 가환환의 스펙트럼을 의미하며, 점들은 소 아이디얼이다. 그로텐디크는 1956년 슈발레의 세미나에서 뇌터 환에 대한 이론을 연구하고 있었다. 이 이론은 1958년에 시작된 그로텐디크와 디외도네가 공동 저술한 대수 기하학의 원론 시리즈에서 개발되었다.[51]

공리적 QFT

QFT에 대한 그럴듯한 공리인 와이트먼 공리계는 아서 와이트먼에 의해 도입되었다. 이러한 공리에 대한 비자명한 예제의 필요성은 1960년대 중반 와이트먼의 지도 아래 아서 재피와 오스카 란포드의 박사 학위 논문을 통해 시작된 구성적 양자장론으로 이어졌다.^[52]

공리계에 대한 논의

수학에서 공리화는 지식 체계를 취하여 그 공리로 역추적하는 과정이다. 이것은 일련의 모순 없는 명제가 이 진술들로부터 연역적으로 도출될 수 있도록 여러 무정의 용어를 연결하는 진술(즉, 공리) 시스템을 공식화하는 것이다. 이후, 모든 명제의 증명은 원칙적으로 이러한 공리까지 거슬러 올라갈 수 있어야 한다. 공리화는 일반적으로 선택을 포함하며, 일단 이론이 공리화되면 암시된 수학적 결과에 영향을 주지 않고 공리 집합을 변경할 수 있다.

공리와 공준

고대 그리스 논리학에서는 공리와 공준 사이의 대조가 인식되었다(그러나 "공준"은 중세 라틴어에서 유래한 영어 용어이다). 이는 일관되게 적용되지는 않았지만, 공리는 무정의 용어에 대해 공통 기반이 되어야 하는 방식으로 말하는 것으로, 공준은 논증의 목적을 위한 "요청" 또는 "요구"로 반영되었다. 아리스토텔레스의 견해는 공준에 대해 최소주의적이었다.^[53]

1840년대 불의 불 대수 전통 작업 이후, 논리 자체는 "공준"만으로 발전했다. 19세기 말에 최소주의적 견해는 공리의 독립성에 대한 연구를 의미하는 것으로 받아들여졌다. 수학적 우아함도 고려 사항이었다.^[54] 프리드리히 슈르는 기하학의 기초(Grundlagen der Geometrie)에서 주어진 힐베르트 공리의 독립성 부족을 비판했다.^[55]

공준적 분석의 타임라인

수잔 스테빙에 따르면 공준적 분석은 "연역 체계의 구성에 사용되는 것"이다.^[56] 이는 공리계를 수정하거나 조정하는 데 적용되는 용어이다. 공리는 시스템에 추가되거나 제거될 수 있으며, 강화되거나 약화될 수 있다. 또한 연역에 사용되는 논리적 계산을 변경하는 것도 가능하다.

날짜	저자	저서	비고
기원전 4세기부터 기원전 3세기	알렉산드리아의 에우클레이데스	에우클레이데스의 원론	에우클레이데스가 사용한 그리스어 용어는 αἰτήματα (aitēmata)였다.[53] 이것의 표준 영어 번역은 "postulate"이다.[57]
1882	모리츠 파슈	파슈의 공리	파슈는 에우클레이데스가 암묵적으로 사용했지만 증명하지 않은 평면 기하학의 공리를 도입했다.[58] 이는 에우클레이데스의 공리의 결과가 아니었으며, 즉 에우클레이데스의 시스템과 독립적이었다.
1890년 – 1930년	미국 학파	공준 이론	에이브럼스는 "미국 수학은 19세기 초부터 프랑스와 독일 등지에서 이미 발전하고 있던 내향적 검토와 이론적 엄밀성의 방향으로 발전하기 시작했다"고 썼다. "공준 이론"은 미국 순수수학의 이러한 독특한 추세의 주요 부분이었다.[59] 스캔런은 이 학파의 "수학 이론의 공리화 표준"과 "메타 이론적 속성인 독립성, 완전성, 무모순성"에 대한 작업을 지적한다. E. V. 헌팅턴과 오즈월드 베블런은 이 학파의 대표적인 인물이었다. E. H. 무어와 로버트 리 무어와 함께 그들은 공리적 수학을 위한 국제적인 추진력에 크게 기여했다.[60][61]
1904	오즈월드 베블런	범주형 이론	베블런은 본질적으로 하나의 모형만을 가지는 이론을 범주형이라고 불렀다.[62]
1910	악셀 투에	Die Lösung eines Spezialfalles eines generellen logischen Problems	보편대수학의 한 측면인 항등 관계 이론에 대한 단어 문제를 도입했다.[63][64]
1915	레오폴트 뢰벤하임	Über Möglichkeiten im Relativkalkül	현재 뢰벤하임-스콜렘 정리로 알려진 것의 첫 번째 형태로, 기초 작업에서 1차 논리의 역할을 분리하는 데 중요한 단계였다. 그의 작업은 1920년대 토랄프 스콜렘에 의해 명확화되고 강화되었다.[65]
1926	아돌프 린덴바움	린덴바움-타르스키 대수	린덴바움의 작업은 대수적 논리학으로 이어졌다.[66]
1933	알프레트 타르스키	진리 정의	"대상 언어"와 그것을 기술하는 메타 언어 사이의 명확한 구별을 통해 타르스키의 접근 방식은 1차 논리에서 용어에 대한 구조적 귀납법을 통한 진리 정의를 기반으로 한 모형 이론으로 이어졌다.[67]
1935	개릿 버코프	HSP 정리	버코프는 화이트헤드의 한 세대 전 책 제목을 의식적으로 사용하여 "대수적 다양체" 개념을 중심으로 보편대수학을 재정립했다. 불 대수와 사원수와 같은 오래된 예들과 함께, 동기 부여는 자유 대수와 순서론의 응용이었으며, 뇌터의 추상 대수학 학파의 맥락에서 외위스테인 오레가 활용한 모듈러 격자와 같은 것이었다.[68]
1950년대	버클리 타르스키 학파	고전 모형 이론	1942년부터 캘리포니아 대학교 버클리의 타르스키 학생들에 의해 주로 개발된 모형 이론은 수학적 논리학 내의 공리계에 대한 원칙적인 의미론을 생성하기 위해 초기 작업을 활용했다.[69]
2024	테런스 타오	Equational Theories Project[70]	이항 연산이 최대 네 번 사용되는 마그마에 대한 항등 관계 이론의 이론들을 완전히 보정하는 프로젝트이다. 이론들 사이의 부분 순서는 T가 U에 의해 함의되는 모든 정리를 함의할 때 T≤U를 의미한다. 이 프로젝트의 목적은 ≤의 모든 경우를 결정하여 부분 순서의 정확한 하세 도형을 그릴 수 있도록 하는 것이었다. 일부 경우에는 증명 보조기 소프트웨어가 사용되었다. 이 프로젝트는 2025년 4월에 완료되었다.[71]

속성

공리계의 네 가지 중요한 속성은 무모순성, 상대적 무모순성, 완전성 및 독립성이다. 공리계는 무모순적이라고 하는 것은 모순이 없다는 것을 의미한다. 즉, 시스템의 공리로부터 진술과 그 부정 모두를 도출하는 것이 불가능하다.^[72] 모순의 존재는 어떤 진술이든 증명될 수 있게 하므로(폭발 원리) 무모순성은 대부분의 공리계에 대한 핵심 요구 사항이다. 상대적 무모순성은 공리계의 무모순성을 증명할 수 없을 때 발생한다. 그러나 어떤 경우에는 다른 공리 집합 B가 무모순적이라면 공리계 A가 무모순적임을 보일 수 있다.^[72]

공리계에서 공리는 시스템의 다른 공리로부터 증명되거나 반증될 수 없을 때 독립적이라고 불린다. 시스템은 그 기본 공리 각각이 독립적일 때 독립적이라고 불린다.^[72] 무모순성과 달리, 많은 경우에 독립성은 작동하는 공리계에 필수적인 요구 사항은 아니다. 비록 일반적으로 시스템의 공리 수를 최소화하기 위해 추구되기는 한다.

공리계는 모든 진술에 대해 그 자체 또는 그 부정이 시스템의 공리로부터 도출 가능할 때, 즉 모든 진술이 공리를 사용하여 참 또는 거짓으로 증명될 수 있을 때 완전하다고 불린다.^[72][73] 그러나 어떤 경우에는 진술이 증명될 수 있는지 여부가 결정 불가능할 수도 있다는 점에 유의해야 한다.

공리와 모형

공리계의 모형은 시스템에 제시된 정의되지 않은 용어에 대해 시스템에 정의된 관계와 일치하는 방식으로 의미를 할당하는 형식적 구조이다. 공리계에 모형이 있다면 공리는 만족되었다고 한다.^[74] 공리계를 만족하는 모형의 존재는 시스템의 무모순성을 증명한다.^[75]

모형은 또한 시스템 내에서 공리의 독립성을 보여주는 데 사용될 수 있다. 특정 공리 없이 부분 시스템에 대한 모형을 구성함으로써 생략된 공리가 부분 시스템으로부터 그 정확성이 반드시 따르지 않는다면 독립적임을 보여준다.^[74]

두 모형은 그 요소들 사이에 관계를 보존하는 방식으로 일대일 대응이 발견될 수 있을 때 동형적이라고 한다.^[76] 모든 모형이 다른 모형과 동형적인 공리계는 범주형 또는 범주적이라고 불린다. 그러나 이 용어는 범주론의 주제와 혼동되어서는 안 된다. 범주적 특성(범주성)은 시스템의 완전성을 보장하지만, 그 역은 참이 아니다. 두 모형이 시스템의 의미론으로 표현할 수 없는 속성에서 다를 수 있기 때문에 완전성이 시스템의 범주적 특성을 보장하지 않는다.

불완전성

형식 시스템이 완전하지 않다면 모든 증명이 속한 시스템의 공리로 거슬러 올라갈 수 없다. 예를 들어, 수론적 진술이 산술의 언어(즉, 페아노 공리의 언어)로 표현될 수 있고, 위상수학 또는 복소해석학에 호소하는 증명이 주어질 수 있다. 오직 페아노 공리로부터만 파생되는 다른 증명을 찾을 수 있는지 여부는 즉시 명확하지 않을 수 있다.

같이 보기

• 공리 스키마
• 형식 체계
• 괴델의 불완전성 정리
• 힐베르트 스타일 연역 시스템
• 논리사
• 논리 시스템 목록
• 논리주의
• 체르멜로-프렝켈 집합론, 집합론의 공리계이자 오늘날 수학의 가장 일반적인 기초이다.