Podstawa logarytmu naturalnego, liczba , liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1], oznacza się ją literą [2].
Liczba może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.
Granica ciągu
Jako granica ciągu, jest określana przez
- Dowód zbieżności
Wykażemy, że ciąg gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
| | |
|
(1) |
Rozważając oraz otrzymujemy
a stąd
- więc również i
Czyli ciąg jest niemalejący.
Podłóżmy i zauważmy, że
Z nierówności (1) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:
Stąd a więc też
Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ to możemy wywnioskować, że ciąg jest nierosnący, a stąd
Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.
- jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”[3] – prosty dowód opublikował Adolf Hurwitz w 1894[4]).
- jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
- jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
- pochodna funkcji
- całka funkcji gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
- z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
- Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną , , jednością i zerem:
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym
„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”
- Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli złotych.
Używamy -tego przybliżenia które zapisujemy
Szacujemy błąd
Z tego wynika, że gdzie
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie
W tym wzorze bierzemy tak duże żeby było większe od
Wówczas:
Mnożąc stronami przez dostajemy:
więc
więc
Zostały same liczby całkowite poza która całkowita nie jest.
To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „ jest wymierne”.
Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233.
Nick Pippinger. An Infinite Product for e. „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, maj 1980. (ang.).
- KarolK. Gryszka KarolK., Stała Eulera w trójkącie Pascala, „Delta”, marzec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-15].
- Paweł Lubowiecki, Ciągi liczbowe cz. V – Liczba Eulera, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., e, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- e w rozwinięciu (ang.)