Семиугольная мозаика

Семиугольная мозаика — правильная мозаика на гиперболической плоскости. Она представляется cимволом Шлефли {7,3} и имеет три правильных семиугольника в каждой вершине.

Семиугольная мозаика
Тип	Гиперболическая правильная мозаика[англ.]
Вершинная фигура	73
Символ Шлефли	{7,3}
Символ Витхоффа[англ.]	7 2
Диаграмма Коксетера
Группа симметрии	[7,3], (*732)
Двойственный многогранник	Треугольная мозаика порядка 7[англ.]
Свойства	Вершинно транзитивна, рёберно транзитивна[англ.], транзитивна по граням[англ.]

Иллюстрации

Модель полуплоскости Пуанкаре

Дисковая модель Пуанкаре

Модель Клейна

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика имеет топологическую связь с правильными многогранниками как член последовательности правильных многогранников с cимволом Шлефли {n,3}.

*n32 варианты симметрии правильных мозаик: n³ или {n,3}

Сферические				Евклидовы	Компактные гиперболические.		Параком- пактные.	Некомпактные гиперболические.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Из построения Витхоффа следует, что существует восемь гиперболических однородных мозаик^[англ.], базирующихся на правильной семиугольной мозаике.

Если раскрасить в мозаике красным исходные грани, жёлтым исходные вершины, а синим исходные рёбра, имеется 8 форм.

Однородные семиугольные/треугольные мозаики[англ.]
Симметрия: [7,3], (*732)[англ.]							[7,3]+, (732)
{7,3}	t{7,3}[англ.]	r{7,3}[англ.]	2t{7,3}[англ.]=t{3,7}	2r{7,3}[англ.]={3,7}	rr{7,3}[англ.]	tr{7,3}[англ.]	sr{7,3}[англ.]
Однородные двойственные мозаики
V73[англ.]	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V37	V3.4.7.4	V4.6.14[англ.]	V3.3.3.3.7

Поверхности Гурвица

Группа симметрии семиугольной мозаики имеет в качестве фундаментальной области (2,3,7) треугольник Шварца, который образует эту мозаику.

Дополнительные сведения: Поверхность Гурвица

Группа симметрии мозаики является группой треугольника (2,3,7), и фундаментальной областью для этого действия является треугольник Шварца (2,3,7). Это наименьший гиперболический треугольник Шварца, а потому, по теореме Гурвица об автоморфизмах, мозаика является универсальной мозаикой, покрывающей все поверхности Гурвица (римановы поверхности с максимальной группой симметрии), давая мозаику семиугольниками, группа симметрии которой равна группе симметрии римановой поверхности. Наименьшей поверхностью Гурвица является квартика Клейна^[англ.] (род 3, группа автоморфизма имеет порядок 168) и порождённая мозаика имеет 24 семиугольника, имеющие общие 56 вершин.

Двойственная треугольная мозаика порядка 7^[англ.] имеет ту же самую группу симметрии и она задаёт триангуляции^[англ.] поверхности Гурвица.

См. также

• Шестиугольный паркет
• Мозаики из правильных многоугольников^[англ.]
• Список выпуклых однородных мозаик^[англ.]
• Список правильных многогранников и соединений