Усечённая треугольно-шестиугольная мозаика

Усечённая треугольно-шестиугольная мозаика — это одна из восьми однородных мозаик на евклидовой плоскости. Мозаика имеет один квадрат, один шестиугольник и один двенадцатиугольник в каждой вершине. Её символ Шлефли tr{3,6}.

Равносторонний вариант с ромбами всесто квадратов, и рёберно транзитивным шестиугольниками вместо правильных

Усечённая треугольно-шестиугольная мозаика
Тип	Полуправильная мозаика
Конфигурация вершины	4.6.12
Символ Шлефли	tr{6,3} или ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$
Символ Витхоффа	2 6 3 |
Симметрии	p6, [6,3]+, (632)
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Двойственная мозаика	Кисромбическая мозаика
Акроним Бауэрса	Othat
Свойства	изогональная

Имена

Название усечённая треугольно-шестиугольная мозаика аналогично названиям Усечённый кубооктаэдр и Ромбоусечённый икосододекаэдр, но в некотором смысле вводит в заблуждение. Настоящее усечение тришестиугольной мозаики имеет прямоугольники, а не квадраты, а его шестиугольные и двенадцатиугольные грани не могут одновременно быть правильными. Альтернативными взаимозаменяемыми названиями являются: Большая ромбитришестиугольная мозаика Ромбоусечённая треугольно-шестиугольная мозаика Всеусечённая шестиугольная мозаика, всеусечённая треугольная мозаика Конвей назвал её truncated hexadeltille (усечённый шестипаркет)[1].

Тришестиугольная мозаика и её усечение

Однородная раскраскаs

Существует только одна однородная раскраска усечённой треугольно-шестиугольной мозаики. 2-Однородная раскраска имеет два цвета шестиугольников. 3-Однородная раскраска может иметь 3 цвета двенадцатиугольников и 3 цвета квадратов.

	1-однородная	2-однородная	3-однородная
Раскраска
Симметрия	p6m, [6,3], (*632)	p3m1, [3[3]], (*333)

Свазанные 2-однородные мозаики

Усечённая треугольно-шестиугольная мозаика имеет три связанные 2-однородные мозаики^[англ.], одной из которых является 2-однородная раскраска полуправильной ромбитришестиугольной мозаики. Первая мозаика разбивает шестиугольники на 6 треугольников. Другие два разбивает двенадцатиугольники на центральный шестиугольник и окружающие его на треугольники и квадраты в двух различных ориентациях^[2][3].

Полуправильные	Разбиения	Полуправильные	2-однородные		3-однородные
Двойственные	Вставки

Упаковка кругов

Усечённая треугольно-шестиугольная мозаика может быть использована для упаковка кругов, если разместить круги одинакового диаметра с ценрами в каждой точке. Тогда каждый круг соприкасается с 3 другими окружностями в упаковке (контактное число)^[4].

Разделенная ромбическая мозаика

Разделенная ромбическая мозаика
Тип	Двойственная полуправильной мозаике
Конфигурация грани	V4.6.12 3.3.3.4.4
Символ Шлефли	{3,6}:e s{∞}h1{∞}
Символ Витхоффа	2 | 2 (2 2)
Группа обоев	p6m, [6,3], (*632)
Группа вращений	p6, [6,3]+, (632)
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Двойственная мозаика	усечённая треугольно-шестиугольная мозаика
Свойства	гранетранзитивная

Разделенная ромбическая мозаика или 3-6 разделенная ромбическая мозаика — это мозаика на евклидовой плоскости. Мозаика строится конгруэнтными треугольниками 30-60-90 с 4, 6 и 12 треугольниками в каждой вершине.

Разделение граней этих мозаик создаёт разделенную ромбическую мозаику.

• 
  3-6 дельтоидальная
• 
  ромбическая
• 
  шестиугольная
• 
  шестиугольная
  
• 
  треугольная
• 
  треугольная
  (как шестиразделённая шестиугольная)
• 
  триразделённая треугольная^[англ.]

Разделенная ромбическая мозаика под двойственной ей (слева) и под цветочной пятиугольной мозаикой (справа),

из которой она может быть создана как частичное усечение.

Построение из ромбической мозаики

Конвей называет её kisrhombille^[5] (kis означает операцию деления, применённой здесь к ромбической мозаике). Более точно можно назвать её 3-6 разделённой ромбической мозаикой, чтобы отличить её от других похожих гиперболических мозаик, наподобие 3-7 разделённой ромбической мозаики^[англ.].

Мозаику можно рассматривать как равностороннюю шестиугольную мозаику с каждым шестиугольником, разделённым на 12 треугольников из центральной точки. (Альтернативно мозаику можно рассматривать как разделённую треугольную мозаику, разделённую на 6 треугольников, или как бесконечная конфигурация прямых из шести параллельных семейств.)

Мозаика обозначена как V4.6.12, поскольку каждая треугольная грань имеет три типа вершин - одна с 4, одна с 6 и одна с 12 треугольниками.

Симметрия

Треугольники разделенной ромбической мозаика представляют фундаментальные области p6m, [6,3] (*632 Орбифолдная нотация^[англ.]) симметрии группы обоев. Есть ряд подгрупп с малым индексом, построенных из [6,3] путём удаления зеркал и альтернации. [1⁺,6,3] образует симметрию *333, показанную как красные линии зеркал. [6,3⁺] создаёт симметрию 3*3. [6,3]⁺ является подгруппой вращений. Коммутатором является [1⁺,6,3⁺], который имеет симметрию 333. Подгруппа с индексом 6, построенная как [6,3*], также становится (*333), показанной как синие линии зеркал, и она имеет собственную вращательную симметрию 333 с индексом 12.

Подгруппы с малым индексом [6,3] (*632)
Индекс	1	2		3	6
Диаграмма
Межд.(орб.) (орб.) Коксетер	p6m (*632) [6,3] = =	p3m1 (*333) [1+,6,3] = =	p31m (3*3) [6,3+] =	cmm (2*22)	pmm (*2222)	p3m1 (*333) [6,3*] = =
Прямые подгруппы
Индекс	2	4		6	12
Диаграмма
Межд.(орб.) Коксетер	p6 (632) [6,3]+ = =	p3 (333) [1+,6,3+] = =		p2 (2222)	p2 (2222)	p3 (333) [1+,6,3*] = =
Замечание: Операция + в нотации Коксетера заменяет отражения вращениями. Когда данная операция применяется к группе Коксетера, подгруппа называется прямой подгруппой, поскольку остаются лишь прямые изометрии без отражений.

Связанные многогранники и шаблоны

Существует восемь однородных мозаик, которые могут быть основаны на правильной шестиугольной мозаике (или двойственной треугольной мозаике). Если рисовать плитки красными на месте исходных граней, жёлтым на месте исходных вершин и синим вдоль исходных рёбер, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Однородные шестиугольные/треугольные мозаики
Симметрия: [6,3], (*632)							[6,3]+ (632)	[6,3+] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}
63	3.122[англ.]	(3.6)2	6.6.6	36	3.4.12.4	4.6.12[англ.]	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Двойственные им однородные мозаики
V63	V3.122[англ.]	V(3.6)2	V63	V36	V3.4.12.4	V.4.6.12[англ.]	V34.6	V36

Варианты симметрии

Эта мозаика может считаться членом последовательности однородных мозаик с вершинной фигурой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Для p < 6 членами последовательности являются всеусечённые^[англ.] многогранники (зоноэдры), которые показаны ниже как сферические мозаики. Для p > 6 мозаики являются гиперболическими, начиная с усечённой треугольно-семиугольной мозаики^?!.

*n32 мутации по симметрии полностью усечённых мозаик: 4.6.2n

Симметрия *n32[англ.] n,3[англ.]	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомп.	Некомпактная гиперболическая
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Фигуры
Конфигурация	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Двойственная
Конфигурация грани	V4.6.4[англ.]	V4.6.6	V4.6.8[англ.]	V4.6.10	V4.6.12[англ.]	V4.6.14[англ.]	V4.6.16[англ.]	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

См. также

• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Список однородных мозаик на евклидовой плоскости