Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости

Из Википедии, свободной энциклопедии

Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
Remove ads

Замощения евклидовой плоскости выпуклыми правильными многоугольниками широко использовался ещё с античных времён. Первое систематическое изложение было сделано Кеплером в его книге Harmonices Mundi (Гармония мира, на латинском, 1619).

Примеры периодических мозаик
Thumb
Правильная мозаика имеет один вид правильной грани.
Thumb
Полуправильная или однородная мозаика имеет один тип вершины, но два и более видов граней.
Thumb
k-однородная мозаика имеет k вида вершин и два или более видов правильных граней.
Thumb
Мозаики, не соединённые ребро-к-ребру, могут иметь различные размеры правильных граней
Remove ads

Правильные мозаики

Согласно Грюнбауму и Шепарду[англ.], говорят, что мозаика правильная, если группа симметрии мозаики действует транзитивно на флаги мозаики, где флаг — это тройка, состоящая из взаимно смежных вершин, рёбер и плиток мозаики. Это означает, что для любой пары флагов существует операция симметрии, переводящая первый флаг во второй. Это эквивалентно мозаике соединённых ребро-к-ребру конгруэнтных правильных многоугольников. Должно быть шесть правильных треугольников, четыре квадрата или три правильных шестиугольника в каждой вершине, откуда получаем три правильных замощения.

Подробнее p6m, *632, p4m, *442 ...
Remove ads

Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики

Суммиров вкратце
Перспектива

Вершинная транзитивность означает, что для любой пары вершин существует симметрия (параллельный перенос также включается в симметрии), отображающая первую вершину во вторую [1].

Если требование транзитивности флагов ослаблено до транзитивности вершин, но условие соединения плиток ребро-к-ребру сохраняется, существует восемь дополнительных мозаик, которые известны как архимедовы, однородные, или полуправильные. Заметим, что существует две зеркальные (энантиоморфные или хиральные) формы 34.6 (плосконосых шестиугольных) мозаик и обе показаны в таблице ниже. Все остальные правильные и полуправильные мозаики ахиральны.

Подробнее p6m, *632, p4m, *442 ...

Грюнбаум и Шепард эти мозаики называют архимедовыми, как указание на локальность свойства расположения плиток вокруг вершин, для отличия от однородных, для которых вершинная транзитивность является глобальным свойством. Хотя на плоскости этими двумя свойствами обладают все мозаики, в других пространствах существуют архимедовы мозаики, не являющиеся однородными.

Remove ads

k-однородные мозаики

Суммиров вкратце
Перспектива
3-однородная мозаика с номером #57 из 61
Thumb
Как изотоксальная, жёлтые треугольники, красные квадраты
Thumb
Как 4-изоэдральная, 3 цвета для треугольников

Такие периодические мозаики можно классифицировать числом орбит вершин, рёбер и плиток. Если существует орбит вершин, мозаика считается -однородной или -изогональной (равноугольной). Если существует орбит плиток, мозаика считается -изоэдральной. Если существует орбит рёбер, мозаика считается -изотоксальной (рёберно-транзитивный).

k-однородные мозаики с одинаковыми вершинными фигурами можно далее идентифицировать их симметрией группы обоев.

1-однородные мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 полуправильных с 2 или более видами правильных многоугольных граней. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаик, 151 4-однородных мозаик, 332 5-однородных мозаик и 673 6-однородных мозаик. Все мозаики можно сгруппировать числом m различных фигур, которые называются m-архимедовыми мозаиками [2]

Подробнее m, k ...

Другие типы вершин в мозаик евклидовой плоскости

Для евклидовых мозаик с соединением ребро-к-ребру внутренние углы многоугольников должны в сумме давать 360º. Правильный -угольник имеет внутренний угол . Существует семнадцать комбинаций правильных многоугольников, сумма внутренних углов которых равна 360º, каждая из которых называется видом вершины. В четырёх случаях существует два различных циклических порядка многоугольников, дающие двадцать один вид вершин.

Только одиннадцать из них могут появиться в однородной мозаике правильных многоугольников, приведённых в предыдущих разделах.

В частности, если три многоугольника встречаются в вершине и один имеет нечётное число сторон, два других многоугольника должны быть теми же самыми. В противном случае они должны поочерёдно окружать первый многоугольник, что невозможно при нечётной стороне сторон. Согласно этим ограничениям следующие шесть вариантов не могут присутствовать в какой-либо мозаике правильных многоугольников:

3 многоугольника в вершинах (неиспользуемые)

3.7.42[англ.]

3.8. 24

3.9. 18

3.10. 15

4.5. 20

5.5.10

Эти четыре могут быть использованы в k-однородных мозаик:

Подробнее Допустимыевиды вершин, Примеры2-однородных мозаик ...

Разрезанные правильные многоугольники

Некоторые из k-однородных мозаик могут быть получены с помощью симметричного разрезания плитки мозаики внутренними рёбрами, например:

Подробнее Шестиугольник, Двенадцатиугольник ...

Некоторые k-однородные многоугольники могут быть получены разрезанием правильных многоугольников с новыми вершинами на исходных рёбрах, например:

Подробнее треугольник, квадрат ...

2-однородные мозаики

Существует двадцать 2-однородных мозаик евклидовой плоскости (называемых также 2-изогональными мозаиками или полуправильными мозаиками) [3][4][5].

Подробнее p6m, *632, p4m, *442 ...

3-однородные мозаики

Существует 61 3-однородная мозаика евклидовой плоскости. 39 являются 3-архимедовыми с 3 различными видами вершин, а 22 имеет 2 одинаковые виды вершин в различных орбитах симметрии[6].

3-однородные мозаики, 3 вида вершин

3-однородные мозаики с 3 видами вершин (39)
Thumb
[3.426; 3.6.3.6; 4.6.12]
(t=6, e=7)
Thumb
[36; 324.12; 4.6.12]
(t=5, e=6)
Thumb
[324.12; 3.4.6.4; 3.122]
(t=5, e=6)
Thumb
[3.4.3.12; 3.4.6.4; 3.122]
(t=5, e=6)
Thumb
[3342; 324.12; 3.4.6.4]
(t=6, e=8)
Thumb
[36; 3342; 324.12]
(t=6, e=7)
Thumb
[36; 324.3.4; 324.12]
(t=5, e=6)
Thumb
[346; 3342; 324.3.4]
(t=5, e=6)
Thumb
[36; 324.3.4; 3.426]
(t=5, e=6)
Thumb
[36; 324.3.4; 3.4.6.4]
(t=5, e=6)
Thumb
[36; 3342; 3.4.6.4]
(t=6, e=6)
Thumb
[36; 324.3.4; 3.4.6.4]
(t=6, e=6)
Thumb
[36; 3342; 324.3.4]
(t=4, e=5)
Thumb
[324.12; 3.4.3.12; 3.122]
(t=4, e=7)
Thumb
[3.4.6.4; 3.426; 44]
(t=3, e=4)
Thumb
[324.3.4; 3.4.6.4; 3.426]
(t=4, e=6)
Thumb
[3342; 324.3.4; 44]
(t=4, e=6)
Thumb
[3.426; 3.6.3.6; 44]
(t=5, e=7)
Thumb
[3.426; 3.6.3.6; 44]
(t=6, e=7)
Thumb
[3.426; 3.6.3.6; 44]
(t=4, e=5)
Thumb
[3.426; 3.6.3.6; 44]
(t=5, e=6)
Thumb
[3342; 3262; 3.426]
(t=5, e=8)
Thumb
[3262; 3.426; 3.6.3.6]
(t=4, e=7)
Thumb
[3262; 3.426; 3.6.3.6]
(t=5, e=7)
Thumb
[346; 3342; 3.426]
(t=5, e=7)
Thumb
[3262; 3.6.3.6; 63]
(t=4, e=5)
Thumb
[3262; 3.6.3.6; 63]
(t=2, e=4)
Thumb
[346; 3262; 63]
(t=2, e=5)
Thumb
[36; 3262; 63]
(t=2, e=3)
Thumb
[36; 346; 3262]
(t=5, e=8)
Thumb
[36; 346; 3262]
(t=3, e=5)
Thumb
[36; 346; 3262]
(t=3, e=6)
Thumb
[36; 346; 3.6.3.6]
(t=5, e=6)
Thumb
[36; 346; 3.6.3.6]
(t=4, e=4)
Thumb
[36; 346; 3.6.3.6]
(t=3, e=3)
Thumb
[36; 3342; 44]
(t=4, e=6)
Thumb
[36; 3342; 44]
(t=5, e=7)
Thumb
[36; 3342; 44]
(t=3, e=5)
Thumb
[36; 3342; 44]
(t=4, e=6)

3-однородные мозаики, 2 вида вершин (2:1)

3-однородные мозаики (2:1) (22)
Thumb
[(3.4.6.4)2; 3.426]
(t=6, e=6)
Thumb
[(36)2; 346]
(t=3, e=4)
Thumb
[(36)2; 346]
(t=5, e=5)
Thumb
[(36)2; 346]
(t=7, e=9)
Thumb
[36; (346)2]
(t=4, e=6)
Thumb
[36; (324.3.4)2]
(t=4, e=5)
Thumb
[(3.426)2; 3.6.3.6]
(t=6, e=8)
Thumb
[3.426; (3.6.3.6)2]
(t=4, e=6)
Thumb
[3.426; (3.6.3.6)2]
(t=5, e=6)
Thumb
[3262; (3.6.3.6)2]
(t=3, e=5)
Thumb
[(346)2; 3.6.3.6]
(t=4, e=7)
Thumb
[(346)2; 3.6.3.6]
(t=4, e=7)
Thumb
[3342; (44)2]
(t=4, e=7)
Thumb
[(3342)2; 44]
(t=5, e=7)
Thumb
[3342; (44)2]
(t=3, e=6)
Thumb
[(3342)2; 44]
(t=4, e=6)
Thumb
[(3342)2; 324.3.4]
(t=5, e=8)
Thumb
[3342; (324.3.4)2]
(t=6, e=9)
Thumb
[36; (3342)2]
(t=5, e=7)
Thumb
[36; (3342)2]
(t=4, e=6)
Thumb
[(36)2; 3342]
(t=6, e=7)
Thumb
[(36)2; 3342]
(t=5, e=6)

4-однородные мозаики

Существует 151 4-однородная мозаика евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха (Brian Galebach) воспроизвели список Кротенхирдта (Krotenheerdt) из 33 4-однородных мозаик с 4 различными видами вершин, 85 мозаик с 3 видами вершин и 33 мозаики с 2 видами вершин.

4-однородные мозаики, 4 вида вершин

Существует 34 мозаики с 4 видами вершин.

4-однородные мозаики с 4 видами вершин (33)
Thumb
[33434; 3262; 3446; 63]
Thumb
[3342; 3262; 3446; 46.12]
Thumb
[33434; 3262; 3446; 46.12]
Thumb
[36; 3342; 33434; 334.12]
Thumb
[36; 33434; 334.12; 3.122]
Thumb
[36; 33434; 343.12; 3.122]
Thumb
[36; 3342; 33434; 3464]
Thumb
[36; 3342; 33434; 3464]
Thumb
[36; 33434; 3464; 3446]
Thumb
[346; 3262; 3636; 63]
Thumb
[346; 3262; 3636; 63]
Thumb
[334.12; 343.12; 3464; 46.12]
Thumb
[3342; 334.12; 343.12; 3.122]
Thumb
[3342; 334.12; 343.12; 44]
Thumb
[3342; 334.12; 343.12; 3.122]
Thumb
[36; 3342; 33434; 44]
Thumb
[33434; 3262; 3464; 3446]
Thumb
[36; 3342; 3446; 3636]
Thumb
[36; 346; 3446; 3636]
Thumb
[36; 346; 3446; 3636]
Thumb
[36; 346; 3342; 3446]
Thumb
[36; 346; 3342; 3446]
Thumb
[36; 346; 3262; 63]
Thumb
[36; 346; 3262; 63]
Thumb
[36; 346; 3262; 63]
Thumb
[36; 346; 3262; 63]
Thumb
[36; 346; 3262; 3636]
Thumb
[3342; 3262; 3446; 63]
Thumb
[3342; 3262; 3446; 63]
Thumb
[3262; 3446; 3636; 44]
Thumb
[3262; 3446; 3636; 44]
Thumb
[3262; 3446; 3636; 44]
Thumb
[3262; 3446; 3636; 44]

4-однородные мозаики, 3 вида вершин (2:1:1)

Существует 85 мозаик с 3 видами вершин.

4-однородные мозаики (3:1)
Thumb
[3464; (3446)2; 46.12]
Thumb
[3464; 3446; (46.12)2]
Thumb
[334.12; 3464; (3.122)2]
Thumb
[343.12; 3464; (3.122)2]
Thumb
[33434; 343.12; (3464)2]
Thumb
[(36)2; 3342; 334.12]
Thumb
[(3464)2; 3446; 3636]
Thumb
[3464; 3446; (3636)2]
Thumb
[3464; (3446)2; 3636]
Thumb
[(36)2; 3342; 33434]
Thumb
[(36)2; 3342; 33434]
Thumb
[36; 3262; (63)2]
Thumb
[36; 3262; (63)2]
Thumb
[36; (3262)2; 63]
Thumb
[36; (3262)2; 63]
Thumb
[36; 3262; (63)2]
Thumb
[36; 3262; (63)2]
Thumb
[36; (346)2; 3262]
Thumb
[36; (3262)2; 3636]
Thumb
[(346)2; 3262; 63]
Thumb
[(346)2; 3262; 63]
Thumb
[346; 3262; (3636)2]
Thumb
[346; 3262; (3636)2]
Thumb
[3342; 33434; (3464)2]
Thumb
[36; 33434; (3464)2]
Thumb
[36; (33434)2; 3464]
Thumb
[36; (3342)2; 3464]
Thumb
[(3464)2; 3446; 3636]
Thumb
[346; (33434)2; 3446]
Thumb
[36; 3342; (33434)2]
Thumb
[36; 3342; (33434)2]
Thumb
[(3342)2; 33434; 44]
Thumb
[(3342)2; 33434; 44]
Thumb
[3464; (3446)2; 44]
Thumb
[33434; (334.12)2; 343.12]
Thumb
[36; (3262)2; 63]
Thumb
[36; (3262)2; 63]
Thumb
[36; 346; (3262)2]
Thumb
[(36)2; 346; 3262]
Thumb
[(36)2; 346; 3262]
Thumb
[(36)2; 346; 3636]
Thumb
[346; (3262)2; 3636]
Thumb
[346; (3262)2; 3636]
Thumb
[(346)2; 3262; 3636]
Thumb
[(346)2; 3262; 3636]
Thumb
[36; 346; (3636)2]
Thumb
[3262; (3636)2; 63]
Thumb
[3262; (3636)2; 63]
Thumb
[(3262)2; 3636; 63]
Thumb
[3262; 3636; (63)2]
Thumb
[346; 3262; (63)2]
Thumb
[346; (3262)2; 3636]
Thumb
[3262; 3446; (3636)2]
Thumb
[3262; 3446; (3636)2]
Thumb
[346; (3342)2; 3636]
Thumb
[346; (3342)2; 3636]
Thumb
[346; 3342; (3446)2]
Thumb
[3446; 3636; (44)2]
Thumb
[3446; 3636; (44)2]
Thumb
[3446; 3636; (44)2]
Thumb
[3446; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; 44]
Thumb
[(3446)2; 3636; 44]
Thumb
[(3446)2; 3636; 44]
Thumb
[(3446)2; 3636; 44]
Thumb
[(3446)2; 3636; 44]
Thumb
[(3446)2; 3636; 44]
Thumb
[(3446)2; 3636; 44]
Thumb
[(3446)2; 3636; 44]
Thumb
[3446; (3636)2; 44]
Thumb
[3446; (3636)2; 44]
Thumb
[3446; (3636)2; 44]
Thumb
[3446; (3636)2; 44]
Thumb
[36; 3342; (44)2]
Thumb
[36; 3342; (44)2]
Thumb
[36; (3342)2; 44]
Thumb
[36; 3342; (44)2]
Thumb
[36; 3342; (44)2]
Thumb
[36; (3342)2; 44]
Thumb
[36; (3342)2; 44]
Thumb
[36; (3342)2; 44]
Thumb
[(36)2; 3342; 44]
Thumb
[(36)2; 3342; 44]
Thumb
[(36)2; 3342; 44]
Thumb
[(36)2; 3342; 44]

4-однородные мозаики, 2 вида вершин (2:2) и (3:1)

Существует 33 мозаики с 2 видами вершин, 12 с отношением типов плиток 2:2 и 21 с отношением (3:1).

4-однородные мозаики (2:2)
Thumb
[(3464)2; (46.12)2]
Thumb
[(33434)2; (3464)2]
Thumb
[(33434)2; (3464)2]
Thumb
[(346)2; (3636)2]
Thumb
[(36)2; (346)2]
Thumb
[(3342)2; (33434)2]
Thumb
[(3342)2; (44)2]
Thumb
[(3342)2; (44)2]
Thumb
[(3342)2; (44)2]
Thumb
[(36)2; (3342)2]
Thumb
[(36)2; (3342)2]
Thumb
[(36)2; (3342)2]
4-однородные мозаики (3:1)
Thumb
[343.12; (3.122)3]
Thumb
[(346)3; 3636]
Thumb
[36; (346)3]
Thumb
[(36)3; 346]
Thumb
[(36)3; 346]
Thumb
[(3342)3; 33434]
Thumb
[3342; (33434)3]
Thumb
[3446; (3636)3]
Thumb
[3446; (3636)3]
Thumb
[3262; (3636)3]
Thumb
[3262; (3636)3]
Thumb
[3342; (44)3]
Thumb
[3342; (44)3]
Thumb
[(3342)3; 44]
Thumb
[(3342)3; 44]
Thumb
[(3342)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3]
Thumb
[36; (3342)3]
Thumb
[36; (3342)3]
Thumb
[(36)3; 3342]
Thumb
[(36)3; 3342]

5-однородные мозаики

Существует 332 5-однородные мозаики евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха дали 332 5-однородных мозаик с числом видов вершин от 2 до 5. Существует 74 мозаики с 2 видами вершин, 149 мозаик с 3 видами вершин, 94 мозаики с 4 видами вершин и 15 с 5 видами вершин.

5-однородные мозаики, 5 типов вершин

Существует 15 5-однородных мозаик с 5 видами вершинных фигур.

5-однородные мозаики, 5 типов
Thumb
[33434; 3262; 3464; 3446; 63]
Thumb
[36; 346; 3262; 3636; 63]
Thumb
[36; 346; 3342; 3446; 46.12]
Thumb
[346; 3342; 33434; 3446; 44]
Thumb
[36; 33434; 3464; 3446; 3636]
Thumb
[36; 346; 3464; 3446; 3636]
Thumb
[33434; 334.12; 3464; 3.12.12; 46.12]
Thumb
[36; 346; 3446; 3636; 44]
Thumb
[36; 346; 3446; 3636; 44]
Thumb
[36; 346; 3446; 3636; 44]
Thumb
[36; 346; 3446; 3636; 44]
Thumb
[36; 3342; 3446; 3636; 44]
Thumb
[36; 346; 3342; 3446; 44]
Thumb
[36; 3342; 3262; 3446; 3636]
Thumb
[36; 346; 3342; 3262; 3446]

5-однородные мозаики, 4 типов вершин (2:1:1:1)

Существует 94 5-однородные мозаики с 4 видами вершин.

5-однородные мозаики (2:1:1:1)
Thumb
[36; 33434; (3446)2; 46.12]
Thumb
[36; 33434; 3446; (46.12)2]
Thumb
[36; 33434; 3464; (46.12)2]
Thumb
[36; 3342; (334.12)2; 3464]
Thumb
[36; (3342)2; 334.12; 3464]
Thumb
[36; 33434; (334.12)2; 3464]
Thumb
[36; 33434; 334.12; (3.12.12)2]
Thumb
[36; 346; (3342)2; 334.12]
Thumb
[36; 33434; 343.12; (3.12.12)2]
Thumb
[(3342)2; 334.12; 343.12; 3.12.12]
Thumb
[(3342)2; 334.12; 343.12; 3.12.12]
Thumb
[(3342)2; 334.12; 343.12; 44]
Thumb
[33434; 3262; (3446)2; 44]
Thumb
[36; (3342)2; 33434; 44]
Thumb
[346; (3342)2; 33434; 44]
Thumb
[36; 3342; (3464)2; 3446]
Thumb
[3342; 3262; 3464; (3446)2]
Thumb
[33434; 3262; 3464; (3446)2]
Thumb
[36; 33434; (3446)2; 3636]
Thumb
[3342; 33434; 3464; (3446)2]
Thumb
[36; 33434; (3262)2; 3446]
Thumb
[3342; 3262; (3464)2; 3446]
Thumb
[33434; 3262; (3464)2; 3446]
Thumb
[346; 3342; (3464)2; 3446]
Thumb
[36; (3342)2; 33434; 3464]
Thumb
[36; (3342)2; 33434; 3464]
Thumb
[36; 3342; (33434)2; 3464]
Thumb
[(36)2; 3342; 33434; 3464]
Thumb
[36; 3342; (33434)2; 3464]
Thumb
[(36)2; 3342; 33434; 334.12]
Thumb
[36; 33434; (334.12)2; 343.12]
Thumb
[(36)2; 346; 3342; 33434]
Thumb
[(36)2; 346; 3262; 63]
Thumb
[36; (346)2; 3262; 63]
Thumb
[(36)2; 346; 3262; 3636]
Thumb
[36; 346; (3262)2; 3636]
Thumb
[36; (346)2; 3262; 3636]
Thumb
[(36)2; 346; 3262; 3636]
Thumb
[36; 346; 3262; (3636)2]
Thumb
[36; (346)2; 3262; 3636]
Thumb
[36; (346)2; 3262; 3636]
Thumb
[36; (346)2; 3262; 3636]
Thumb
[36; 346; (3262)2; 3636]
Thumb
[36; 346; (3262)2; 3636]
Thumb
[36; 346; 3262; (63)2]
Thumb
[36; 346; (3262)2; 63]
Thumb
[346; (3262)2; 3636; 63]
Thumb
[(346)2; 3262; 3636; 63]
Thumb
[(36)2; 346; 3262; 63]
Thumb
[(36)2; 346; 3262; 63]
Thumb
[36; 346; 3262; (63)2]
Thumb
[36; 346; 3262; (63)2]
Thumb
[36; 346; 3262; (63)2]
Thumb
[36; 346; (3262)2; 63]
Thumb
[346; (3262)2; 3636; 63]
Thumb
[346; (3262)2; 3636; 63]
Thumb
[346; (3262)2; 3636; 63]
Thumb
[346; 3262; 3636; (63)2]
Thumb
[346; (3262)2; 3636; 63]
Thumb
[3342; 3262; 3446; (63)2]
Thumb
[3342; 3262; 3446; (63)2]
Thumb
[3262; 3446; 3636; (44)2]
Thumb
[3262; 3446; 3636; (44)2]
Thumb
[3262; 3446; (3636)2; 44]
Thumb
[3262; 3446; (3636)2; 44]
Thumb
[3342; 3262; 3446; (44)2]
Thumb
[346; 3342; 3446; (44)2]
Thumb
[3262; 3446; 3636; (44)2]
Thumb
[3262; 3446; 3636; (44)2]
Thumb
[3262; 3446; (3636)2; 44]
Thumb
[3262; 3446; (3636)2; 44]
Thumb
[3342; 3262; 3446; (44)2]
Thumb
[346; 3342; 3446; (44)2]
Thumb
[346; (3342)2; 3636; 44]
Thumb
[36; 3342; (3446)2; 3636]
Thumb
[346; (3342)2; 3446; 3636]
Thumb
[346; (3342)2; 3446; 3636]
Thumb
[(36)2; 346; 3446; 3636]
Thumb
[36; 3342; (3446)2; 3636]
Thumb
[346; (3342)2; 3446; 3636]
Thumb
[346; (3342)2; 3446; 3636]
Thumb
[(36)2; 346; 3446; 3636]
Thumb
[(36)2; 3342; 3446; 3636]
Thumb
[36; 3342; 3446; (3636)2]
Thumb
[346; 3342; (3446)2; 3636]
Thumb
[36; 346; (3342)2; 3446]
Thumb
[346; (3342)2; 3262; 3636]
Thumb
[346; (3342)2; 3262; 3636]
Thumb
[36; (346)2; 3342; 3446]
Thumb
[36; (346)2; 3342; 3446]
Thumb
[36; (346)2; 3342; 3446]
Thumb
[36; 346; (3342)2; 3262]
Thumb
[(36)2; 346; 3342; 3636]
Thumb
[(36)2; 346; 3342; 3636]

5-однородные мозаики, 3 типа вершин (3:1:1) и (2:2:1)

Существует 149 5-однородных мозаик с тремя видами вершин, из них у 60 виды вершин находятся в отношении 3:1:1 и 89 имеют отношение 2:2:1.

5-однородные мозаики (3:1:1)
Thumb
[36; 334.12; (46.12)3]
Thumb
[(36)2; (3342)2; 3464]
Thumb
[(3342)2; 334.12; (3464)2]
Thumb
[36; (33434)2; (3464)2]
Thumb
[3342; (33434)2; (3464)2]
Thumb
[3342; (33434)2; (3464)2]
Thumb
[3342; (33434)2; (3464)2]
Thumb
[(33434)2; 343.12; (3464)2]
Thumb
[3464; 3446; (46.12)3]
Thumb
[36; (334.12)3; 46.12]
Thumb
[334.12; 343.12; (3.12.12)3]
Thumb
[36; (33434)3; 343.12]
Thumb
[3262; 3636; (63)3]
Thumb
[346; 3262; (63)3]
Thumb
[36; (3262)3; 63]
Thumb
[36; (3262)3; 63]
Thumb
[3262; (3636)3; 63]
Thumb
[3446; 3636; (44)3]
Thumb
[3446; 3636; (44)3]
Thumb
[36; 3342; (44)3]
Thumb
[36; 3342; (44)3]
Thumb
[3446; (3636)3; 44]
Thumb
[3446; (3636)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[(36)3; 3342; 44]
Thumb
[(36)3; 3342; 44]
Thumb
[3446; 3636; (44)3]
Thumb
[3446; 3636; (44)3]
Thumb
[36; 3342; (44)3]
Thumb
[36; 3342; (44)3]
Thumb
[(3342)3; 3262; 3446]
Thumb
[3262; 3446; (3636)3]
Thumb
[3262; 3446; (3636)3]
Thumb
[3262; 3446; (3636)3]
Thumb
[3262; 3446; (3636)3]
Thumb
[3446; (3636)3; 44]
Thumb
[3446; (3636)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[(36)3; 3342; 44]
Thumb
[(36)3; 3342; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[36; (3342)3; 44]
Thumb
[(3342)3; 3446; 3636]
Thumb
[(3342)3; 3446; 3636]
Thumb
[346; (3342)3; 3446]
Thumb
[(36)3; 346; 3262]
Thumb
[(36)3; 346; 3262]
Thumb
[(36)3; 346; 3262]
Thumb
[346; (3262)3; 3636]
Thumb
[346; (3262)3; 3636]
Thumb
[(346)3; 3262; 3636]
Thumb
[(346)3; 3262; 3636]
Thumb
[(36)3; 346; 3262]
Thumb
[(36)3; 346; 3262]
Thumb
[(346)3; 3262; 3636]
Thumb
[36; 346; (3636)3]
Thumb
[36; 346; (3636)3]
Thumb
[36; 346; (3636)3]
Thumb
[36; 346; (3636)3]
Thumb
[(36)3; 346; 3636]
Thumb
[(36)3; 346; 3636]
Thumb
[36; (346)3; 3636]
5-однородные мозаики (2:2:1)
Thumb
[(3446)2; (3636)2; 46.12]
Thumb
[36; (3262)2; (63)2]
Thumb
[(3262)2; (3636)2; 63]
Thumb
[(346)2; (3262)2; 63]
Thumb
[36; (3262)2; (63)2]
Thumb
[(36)2; (3342)2; 33434]
Thumb
[(36)2; 3342; (33434)2]
Thumb
[346; (3342)2; (33434)2]
Thumb
[(36)2; 3342; (33434)2]
Thumb
[(36)2; 3342; (33434)2]
Thumb
[(3262)2; 3636; (63)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[3446; (3636)2; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[3446; (3636)2; (44)2]
Thumb
[36; (3342)2; (44)2]
Thumb
[(36)2; 3342; (44)2]
Thumb
[(36)2; 3342; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[36; (3342)2; (44)2]
Thumb
[(36)2; (3342)2; 44]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[3446; (3636)2; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[3446; (3636)2; (44)2]
Thumb
[36; (3342)2; (44)2]
Thumb
[(36)2; 3342; (44)2]
Thumb
[(36)2; 3342; (44)2]
Thumb
[36; (3342)2; (44)2]
Thumb
[36; (3342)2; (44)2]
Thumb
[(3446)2; 3636; (44)2]
Thumb
[(36)2; (3342)2; 44]
Thumb
[(36)2; (3342)2; 44]
Thumb
[(36)2; (3342)2; 44]
Thumb
[(36)2; (3342)2; 44]
Thumb
[(33434)2; 3262; (3446)2]
Thumb
[3342; (3262)2; (3446)2]
Thumb
[3342; (3262)2; (3446)2]
Thumb
[3262; (3446)2; (3636)2]
Thumb
[(3262)2; 3446; (3636)2]
Thumb
[(3262)2; 3446; (3636)2]
Thumb
[(3464)2; (3446)2; 3636]
Thumb
[3262; (3446)2; (3636)2]
Thumb
[3262; (3446)2; (3636)2]
Thumb
[(346)2; (3446)2; 3636]
Thumb
[(346)2; (3446)2; 3636]
Thumb
[(346)2; (3446)2; 3636]
Thumb
[(346)2; (3446)2; 3636]
Thumb
[(3342)2; (3446)2; 3636]
Thumb
[(3342)2; (3446)2; 3636]
Thumb
[(346)2; (3342)2; 3446]
Thumb
[(346)2; 3342; (3446)2]
Thumb
[(36)2; (346)2; 3262]
Thumb
[36; (346)2; (3262)2]
Thumb
[(36)2; 346; (3262)2]
Thumb
[36; (346)2; (3262)2]
Thumb
[346; (3262)2; (3636)2]
Thumb
[(346)2; (3262)2; 3636]
Thumb
[36; (346)2; (3262)2]
Thumb
[(346)2; 3262; (3636)2]
Thumb
[(346)2; (3262)2; 3636]
Thumb
[(36)2; (346)2; 3262]
Thumb
[(36)2; (346)2; 3262]
Thumb
[(36)2; (346)2; 3636]
Thumb
[(36)2; (346)2; 3636]
Thumb
[36; (346)2; (3342)2]
Thumb
[(36)2; (346)2; 3262]
Thumb
[36; (346)2; (3262)2]
Thumb
[36; (346)2; (3262)2]
Thumb
[346; (3342)2; (3636)2]
Thumb
[346; (3342)2; (3636)2]
Thumb
[(36)2; 346; (3636)2]
Thumb
[(36)2; (346)2; 3636]
Thumb
[(36)2; 3342; (33434)2]

5-однородные мозаики, 2 типа вершин (4:1) и (3:2)

Существует 74 5-однородные мозаики с 2 видами вершин, 27 мозаик с отношением 4:1 и 47 с отношением 3:2 каждого вида вершин.

5-однородные мозаики (4:1)
Thumb
[(3464)4; 46.12]
Thumb
[343.12; (3.12.12)4]
Thumb
[36; (33434)4]
Thumb
[36; (33434)4]
Thumb
[(36)4; 346]
Thumb
[(36)4; 346]
Thumb
[(36)4; 346]
Thumb
[36; (346)4]
Thumb
[3262; (3636)4]
Thumb
[(346)4; 3262]
Thumb
[(346)4; 3262]
Thumb
[(346)4; 3636]
Thumb
[3262; (3636)4]
Thumb
[3446; (3636)4]
Thumb
[3446; (3636)4]
Thumb
[(3342)4; 33434]
Thumb
[3342; (33434)4]
Thumb
[3342; (44)4]
Thumb
[3342; (44)4]
Thumb
[(3342)4; 44]
Thumb
[(3342)4; 44]
Thumb
[(3342)4; 44]
Thumb
[36; (3342)4]
Thumb
[36; (3342)4]
Thumb
[36; (3342)4]
Thumb
[(36)4; 3342]
Thumb
[(36)4; 3342]

Существует 29 5-однородных мозаик с отношением видов вершин 3:2.

5-однородные мозаики (3:2)
Thumb
[(3464)2; (46.12)3]
Thumb
[(3464)2; (46.12)3]
Thumb
[(3464)3; (3446)2]
Thumb
[(33434)2; (3464)3]
Thumb
[(33434)3; (3464)2]
Thumb
[(36)2; (346)3]
Thumb
[(36)2; (346)3]
Thumb
[(36)3; (346)2]
Thumb
[(36)3; (346)2]
Thumb
[(36)3; (346)2]
Thumb
[(36)3; (346)2]
Thumb
[(36)2; (346)3]
Thumb
[(36)2; (346)3]
Thumb
[(36)2; (346)3]
Thumb
[(3262)2; (3636)3]
Thumb
[(346)3; (3636)2]
Thumb
[(346)3; (3636)2]
Thumb
[(346)2; (3636)3]
Thumb
[(3446)3; (3636)2]
Thumb
[(3446)2; (3636)3]
Thumb
[(3446)3; (3636)2]
Thumb
[(3446)2; (3636)3]
Thumb
[(3446)2; (3636)3]
Thumb
[(3342)3; (33434)2]
Thumb
[(3342)3; (33434)2]
Thumb
[(3342)2; (33434)3]
Thumb
[(3342)2; (33434)3]
Thumb
[(3342)2; (44)3]
Thumb
[(3342)2; (44)3]
Thumb
[(3342)2; (44)3]
Thumb
[(3342)3; (44)2]
Thumb
[(3342)2; (44)3]
Thumb
[(3342)3; (44)2]
Thumb
[(3342)2; (44)3]
Thumb
[(3342)2; (44)3]
Thumb
[(3342)3; (44)2]
Thumb
[(3342)3; (44)2]
Thumb
[(36)2; (3342)3]
Thumb
[(36)2; (3342)3]
Thumb
[(36)2; (3342)3]
Thumb
[(36)2; (3342)3]
Thumb
[(36)3; (3342)2]
Thumb
[(36)3; (3342)2]
Thumb
[(36)3; (3342)2]
Thumb
[(36)3; (3342)2]
Thumb
[(36)3; (3342)2]
Thumb
[(36)3; (3342)2]

k-однородные мозаики более высокого порядка

k-однородные мозаики перечислены вплоть до 6. Существует 673 6-однородные мозаики евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха воспроизвели список Кротенхирдта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными видами вершин, 92 с 5 видами, 187 с 4 видами, 284 с 3 видами и 100 с 2 видами вершин.

Remove ads

Мозаики плиток, не соединённых ребро-к-ребру

Суммиров вкратце
Перспектива

Выпуклые правильные многоугольники могут образовывать мозаики плоскости, когда соединение многоугольников не осуществляется ребро-к-ребру. Такие мозаики можно считать мозаиками с соединением ребро-к-ребру, но многоугольники будут неправильными и имеющими рёбра, лежащие на одной прямой.

Существует семь семейств с параметром, определяющим коэффициент наложения рёбер смежных плиток или отношение длин рёбер различных плиток. Два этих семейства образуются сдвигом квадратов, постоянным или зигзагообразным. Грюнбаум и Шепард называет эти мозаики однородными, хотя это противоречит определению однородности Коксетером, которое требует соединение ребро-к-ребру[7]. Такие равноугольные мозаики, фактически, топологически идентичны однородным мозаикам с различными геометрическими пропорциями.

Подробнее cmm (2*22), p2 (2222) ...
Remove ads

См. также

Примечания

Ссылки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads