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純數學的一個分支 来自维基百科,自由的百科全书
數學分析學,也稱分析數學、分析學或解析學(英語:Mathematical Analysis),是普遍存在於大學數學系所的一門基礎課程。大致與非數學系所學生所學的高等數學課程內容相近,但內容更加深入,一般指以微積分學、無窮級數和解析函數等的一般理論為主要內容,並包括它們的理論基礎[註 1]的一個較為完整的數學學科。[1]
數學分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。數學分析是由微積分演進而來,在微積分發展至現代階段中,從應用中的方法總結升華為一類綜合性分析方法,且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧,可以認為這些應用方法是高等微積分生成的前提。數學分析的方式和其幾何有關,不過只要任一數學空間有定義鄰域(拓撲空間)或是有針對兩物件距離的定義(度量空間),就可以用數學分析的方式進行分析。
在古希臘數學的早期,數學分析的結果是隱含給出的。比如,芝諾的兩分法悖論就隱含了無限幾何和。[2]再後來,古希臘數學家如歐多克索斯和阿基米德使數學分析變得更加明確,但還不是很正式。他們在使用窮竭法去計算區域和固體的面積和體積時,使用了極限和收斂的概念。[3]在古印度數學的早期,12世紀的數學家婆什迦羅第二給出了導數的例子,還使用過現在所知的羅爾定理。
歷史上,數學分析起源於17世紀,伴隨著牛頓和萊布尼茲發明微積分而產生的。在17、18世紀,數學分析的主題,如變分法,常微分方程式和偏微分方程式,傅立葉分析以及母函數基本上發展於應用工作中。微積分方法成功的運用了連續的方法近似了離散的問題。
貫穿18世紀,函數概念的定義成為了數學家們爭論的主題。到了19世紀,柯西首先地通過引入柯西序列的概念將微積分建立在一個穩固的邏輯基礎之上。他還開始了複分析的形式理論。卜瓦松、萊歐維爾、傅立葉以及其他的數學家研究了偏微分方程式和調和分析。
19世紀中葉,黎曼引入了他的積分理論。在19世紀的最後第三個年代還產生了魏爾施特拉斯對於分析的算術化,他認為幾何論證從本質上是一種誤導,並提出了極限的 (ε, δ) 定義。此時,數學家們開始擔心他們在沒有證明的情況下假設了實數連續統的存在。戴德金用戴德金分割構造了實數。大約在那個時候,對黎曼積分精煉的種種嘗試也引向了實數函數的非連續集合的「大小」的研究。
在19世紀末時,也發現了許多病態函數,像是處處不連續函數、處處連續但處處不可微分的魏爾斯特拉斯函數以及空間填充曲線等。卡米爾·若爾當發展了若爾當測度,而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論,勒內-路易·貝爾證明了貝爾綱定理。在20世紀初期,利用公理化的集合論將微積分進行形式化,昂利·勒貝格解決了量測問題,大衛·希爾伯特導入了希爾伯特空間來求解積分方程式。賦範向量空間的概念已經提出,1920年代時斯特凡·巴拿赫創建了泛函分析。
數學中的度量空間是一個集合,而集合中兩個元素的距離(叫做度量)有清楚的定義。
大部份的數學分析都是針對特定的度量空間,最常見的是數線、複數平面、歐幾里得空間、其他向量空間及整數。數學中沒有度量的分包括有量測理論(描述大小而不是距離)及泛函分析(研究不需要距離概念的拓撲向量空間)
度量空間是一個有序對,其中是一集合,而為中的度量(也是函數)
使得針對任何的,以下的敘述都成立:
數列是一個有序的列表,數列像集合一樣都是由元素組成,但和集合不同,數列有順序的概念,而完全相同的元素可以在數列中出現一至多次。更準確的說法,數列可以用定義域為全序關係可數集(例如自然數)的函數來定義。
數列最重要的性質是收斂,若簡單的做非正式的定義,一數列若存在極限,表示此數列收斂。若繼續下非正式的定義,一個無窮數列an,若在n非常大時接近一數值x,則稱此數列有極限,而其極限為x,因此極限也可以視為是數列趨向的數值[4]。因此針對數列an,當n → ∞時,an和x之間的距離會趨近於0:
數學分析在當前被分為以下幾個分支領域:
數學分析的技巧可以用在其他以下的領域:
經典力學、相對論及量子力學中大部份的內容都是以數學分析及微分方程式為基礎。其中重要的微分方程式包括牛頓第二運動定律、薛丁格方程式及愛因斯坦場方程式。
泛函分析是量子力學中的一個重要主題。
訊號處理可以用在許多不同訊號的處理上,不論是聲音、無線電波、光波、地震波其至影像,傅立葉分析可以取出訊號中特定的成份,可以進一步將訊號加強或是移除。大部份的訊號處理技術都包括了將訊號進行傅立葉轉換、轉換後訊號進行簡單的處理,再進行反轉換[14]。
數學分析的技巧可以用在以下的數學領域中:
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