Matriz nilpotente

En álxebra linear, unha matriz nilpotente é unha matriz cadrada N tal que

${\displaystyle N^{k}=0\,}$

para algún enteiro ${\displaystyle k}$. O ${\displaystyle k}$ máis pequeno deste tipo chámase índice de ${\displaystyle N}$, ^[1] ou ás veces o grao de ${\displaystyle N}$.

De xeito máis xeral, unha transformación nilpotente é unha transformación linear ${\displaystyle L}$ dun espazo vectorial tal que ${\displaystyle L^{k}=0}$ para algún enteiro positivo ${\displaystyle k}$ (e, polo tanto, ${\displaystyle L^{j}=0}$ para todos os ${\displaystyle j\geq k}$).^[2][3][4]

Estes dous conceptos son casos especiais dun concepto máis xeral de nilpotencia que se aplica aos elementos dos aneis.

Exemplos

Exemplo 1

A matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

é nilpotente de índice 2, xa que ${\displaystyle A^{2}=0}$.

Exemplo 2

De forma máis xeral, calquera matriz triangular de ${\displaystyle n}$ dimensións con ceros ao longo da diagonal principal é nilpotente, con índice ${\displaystyle \leq n}$. Por exemplo, a matriz

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

é nilpotente, con

${\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

O índice de ${\displaystyle B}$ é polo tanto 4.

Exemplo 3

Aínda que os exemplos anteriores teñen un gran número de entradas cero, unha matriz nilpotente típica non o ten. Por exemplo,

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

aínda que a matriz non ten entradas cero.

Exemplo 4

Alén diso, calquera matriz da forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}$

como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}}$

ou

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}}$

elévase ao cadrado dando cero.

Exemplo 5

Se cadra algúns dos exemplos máis sorprendentes de matrices nilpotentes sexan as matrices cadradas ${\displaystyle n\times n}$ da forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}$

As primeiras delas son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots }$

Estas matrices son nilpotentes mais non hai entradas cero en ningunha das súas potencias inferiores ao índice.^[5]

Exemplo 6

Considere o espazo linear de polinomios de grao limitado. O operador derivada é un mapa linear. Sabemos que ao aplicar a derivada a un polinomio diminúe o seu grao en un, polo que ao aplicalo de forma iterativa, acabaremos por obter cero. Polo tanto, en tal espazo, a derivada é representábel por unha matriz nilpotente.

Caracterización

Para unha matriz cadrada ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle N}$, con entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmacións son equivalentes:

• ${\displaystyle N}$ é nilpotente.
• O polinomio característico para ${\displaystyle N}$ é ${\displaystyle \det \left(xI-N\right)=x^{n}}$.
• O polinomio mínimo para ${\displaystyle N}$ é ${\displaystyle x^{k}}$ para algún número enteiro positivo ${\displaystyle k\leq n}$.
• O único eigenvalor complexo para ${\displaystyle N}$ é 0.

O último teorema é certo para matrices sobre calquera corpo de característica 0 ou característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema ten varias consecuencias, incluíndo:

• O índice dunha matriz nilpotente ${\displaystyle n\times n}$ sempre é menor ou igual a ${\displaystyle n}$. Por exemplo, cada matriz ${\displaystyle 2\times 2}$ nilpotente elevada ao cadrado é cero.
• O determinante e a traza dunha matriz nilpotente son sempre cero. En consecuencia, unha matriz nilpotente non pode ser invertíbel.
• A única matriz diagonalizábel nilpotente é a matriz cero.

Ver tamén: Descomposición de Jordan-Chevalley.

Clasificación

Considere a matriz de desprazamento ${\displaystyle n\times n}$ (superior):

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

Esta matriz ten 1 ao longo da superdiagonal e 0s no resto da matriz. Como transformación linear, a matriz de desprazamento "despraza" as compoñentes dun vector unha posición cara á esquerda, aparecendo un cero na última posición:

${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).}$^[6]

Esta matriz é nilpotente con grao ${\displaystyle n}$, e é a matriz nilpotente canónica.

Especificamente, se ${\displaystyle N}$ é calquera matriz nilpotente, entón ${\displaystyle N}$ é semellante a unha matriz diagonal en bloques da forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}$

onde cada un dos bloques ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}}$ é unha matriz de desprazamento (posibelmente de diferentes tamaños). Esta forma é un caso especial da forma canónica de Jordan para matrices.^[7]

Por exemplo, calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de é semellante á matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

É dicir, se ${\displaystyle N}$ é calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de cero, entón existe unha base b₁,b₂ de tal forma que Nb₁=0 e Nb₂=b₁.

Este teorema de clasificación cúmprese para matrices sobre calquera corpo. (Non é necesario que o corpo estea pechado alxebricamente.)

Bandeira de subespazos

Unha transformación nilpotente ${\displaystyle L}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ determina naturalmente unha bandeira de subespazos

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}$

e unha sinatura

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$

A sinatura caracteriza ${\displaystyle L}$ ata unha transformación linear invertíbel. A maiores, satisfai as desigualdades

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{para todos os }}j=1,\ldots ,q-1.}$

Pola contra, calquera secuencia de números naturais que satisfaga estas desigualdades é a sinatura dunha transformación nilpotente.

Propiedades adicionais

• Se ${\displaystyle N}$ é nilpotente con índice ${\displaystyle k}$, entón ${\displaystyle I+N}$ e ${\displaystyle I-N}$ son invertíbeis, onde ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade ${\displaystyle n\times n}$. As inversas veñen dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots +(-N)^{k}\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots +N^{k}\\\end{aligned}}}$

• Se ${\displaystyle N}$ é nilpotente, entón

${\displaystyle \det(I+N)=1.}$

Pola contra, se ${\displaystyle A}$ é unha matriz e

${\displaystyle \det(I+tA)=1\!\,}$

para todos os valores de ${\displaystyle t}$, entón ${\displaystyle A}$ é nilpotente. De feito, dado que ${\displaystyle p(t)=\det(I+tA)-1}$ é un polinomio de grao ${\displaystyle n}$, abonda con ter este valor para ${\displaystyle n+1}$ valores distintos de ${\displaystyle t}$.

• Toda matriz singular pódese escribir como produto de matrices nilpotentes.^[8]
• Unha matriz nilpotente é un caso especial dunha matriz converxente.

Xeneralizacións

Un operador linear ${\displaystyle T}$ é localmente nilpotente se para cada vector ${\displaystyle v}$, existe un ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ tal que

${\displaystyle T^{k}(v)=0.\!\,}$

Para os operadores nun espazo vectorial de dimensións finitas, a nilpotencia local é equivalente á nilpotencia.