Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Правильногранний многогранник

опуклий багатогранник, кожна грань якого є правильним багатокутником З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Правильногранний многогранник
Remove ads

Правильногранний многогранник — це опуклий многогранник, кожна грань якого є правильним многокутником.

Thumb
Псевдоромбокубооктаедр (J37), многогранник Джонсона
Thumb
Цей приклад, що має гранями 24 правильних трикутники, не є тілом Джонсона, оскільки не є опуклим. (Фактично це єдина зірчаста форма, можлива для октаедра.)
Thumb
Цей приклад, що має 24 квадратних граней, не є тілом Джонсона, оскільки не є строго опуклим (має двогранні кути 180°).

Правильногранний многогранник називають тілом Джонсона або многогранником Джонсона, якщо він не є ні платоновим тілом (правильним многогранником), ні архімедовим, ні призмою, ні антипризмою.

Прикладом тіла Джонсона є піраміда з квадратною основою і бічними гранями у вигляді правильних трикутників (J12)). Вона має 1 квадратну грань і 4 трикутних.

Як і в кожного строго опуклого тіла, в цих многогранників до кожної вершини примикає щонайменше три грані і сума їхніх кутів (прилеглих до вершини) менша від 360º. Оскільки правильні многокутники мають кути щонайменше 60º, до вершини можуть прилягати максимум п'ять граней. П'ятикутна піраміда[en] (J2) є прикладом, у якому є вершина п'ятого порядку (тобто з п'ятьма гранями).

Хоча немає явного обмеження на правильні многокутники, які можуть служити гранями тіл Джонсона, насправді грані можуть мати тільки 3, 4, 5, 6, 8 або 10 сторін, причому трикутні грані (не менше чотирьох) має будь-яке з тіл Джонсона.

Подовжений чотирисхилий повернутий бікупол (J37), який називають також псевдоромбокубооктаедром[1] єдиний з тіл Джонсона має властивість локальної вершинної однорідності — в кожній вершині сходяться 4 грані і їхнє розташування однакове — 3 квадрати і 1 трикутник. Однак тіло вершинно-транзитивним не є, оскільки має різну ізометрію в різних вершинах, що й робить його тілом Джонсона, а не архімедовим тілом.

Remove ads

Історія

1966 року Норман Джонсон[en] опублікував список усіх 92 тіл і дав їм назви й номери. Він висловив гіпотезу, що їх тільки 92, тобто інших немає.

Раніше, 1946 року Л. Н. Єсаулова надіслала О. Д. Александрову листа, в якому довела, що правильногранних многогранників (крім 5 правильних многогранників, 13 напівправильних і двох нескінченних серій (призм та антипризм) може існувати лише скінченне число. 1961 року Александров передав цього листа В. А. Залгаллеру[ru], можливо через нотатки Джонсона 1960 року.[2] 1967 року Залгаллер опублікував доведення того, що список Джонсона повний. До виконання було залучено групу школярів школи № 239. Повне доведення зайняло близько 4 років з залученням комп'ютерної техніки. В доведенні також істотно використовувалась теорема Александрова про опуклі многогранники.

Remove ads

Термінологія

Узагальнити
Перспектива

Назви тіл Джонсона мають велику описову здатність. Більшість цих тіл можна побудувати з кількох тіл (пірамід, куполів і ротонд), додаючи платонові і архімедові тіла, призми й антипризми.

  • Бі- означає, що дві копії тіл з'єднані основами. Для куполів і ротонд вони можуть бути з'єднані гранями одного типу (прямі) або різних (повернуті). Октаедр, наприклад, є квадратною біпірамідою, кубооктаедр повернутим трикутним бікуполом, а ікосододекаедр повернутою п'ятикутною біротондою.
  • Подовжений означає, що до тіла приєднано призму або її вставлено між двома частинами тіла. Ромбокубооктаедр, наприклад, є подовженим квадратним прямим куполом.
  • Скручений подовжений означає, що до тіла приєднано антипризму або її вставлено між двома частинами тіла. Ікосаедр, наприклад, є скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою.
  • Нарощений означає, що піраміда або купол приєднані до грані тіла.
  • Відсічений означає, що піраміду або купол відрізано від тіла.
  • Скручений означає, що купол, який належить многограннику, повернуто так само, як у повернутих бікуполах.

Останні три операції нарощення, відсікання і поворот — на досить великих многогранниках можуть бути виконані більше одного разу. Для операцій, здійснених два рази, додається двічі. (Двічі скручене тіло має два повернутих куполи.) Для операцій, виконаних три рази, додається тричі. (У тричі відсіченого тіла видалено три піраміди або куполи.)

Іноді слова двічі недостатньо. Необхідно відрізняти тіла, в яких змінено дві протилежні грані від тіл, в яких змінено інші грані. Коли змінені грані паралельні, до назви додається протилежно. (Двічі протилежно нарощене тіло має дві паралельні грані (протилежні) з доданими тілами.) Якщо ж зміни стосуються граней, які не є протилежними, до назви додається, косо. (Двічі косо нарощене тіло має дві грані з доданими тілами, але ці грані не протилежні.)

Кілька назв походять від многокутників, з яких зібрано тіло Джонсона.

Якщо визначити місяць як групу з двох трикутників, приєднаних до квадрата, слово клинокорона відповідає клиноподібній короноподібній групі, утвореній двома місяцями. Слово двоклиноїд або двоклинник означає дві такі групи.

У цій статті використовуються назви зі статті Залгаллера[3]. Разом з номерами многогранників, даними Джонсоном, у дужках наведено складений номер зі статті Залгаллера. У цьому складеному номері

Пn позначає призму з n-кутною основою.
Аn позначає антипризму з n-кутною основою.
Мn позначає тіло з індексом n (тобто в цьому випадку тіло будується на основі іншого тіла).
Підкреслення означає поворот тіла.

Зауваження: Мn не збігається з Jn. Так, квадратна піраміда J12) має індекс 1 у Джонсона і індекс 2 у Залгаллера.

Remove ads

Список

Узагальнити
Перспектива

Піраміди

Перші два тіла Джонсона, J1 і J2, є пірамідами. Трикутна піраміда є правильним тетраедром, тобто не є тілом Джонсона.

Більше інформації Правильні, J1(М2) ...

Куполи й ротонди

Наступні чотири многогранники — три куполи й одна ротонда.

Подовжені і скручені подовжені піраміди

Наступні п'ять многогранників Джонсона є подовженими і скрученими подовженими пірамідами. Їх отримують склеюванням двох многогранників. У разі скрученої подовженої трикутної піраміди три пари суміжних трикутників копланарні, тобто тіло не є многогранником Джонсона.

Більше інформації Подовжені піраміди[en] (або нарощені призми), Скручені подовжені піраміди[en] (або нарощені антипризми) ...

Біпіраміди

Наступними многогранниками Джонсона є біпіраміди, подовжені біпіраміди[en] і скручені подовжені біпіраміди[en]:

Більше інформації Біпіраміди, Подовжені біпіраміди[en] ...

Подовжені куполи та ротонди

Більше інформації Подовжені куполи[en], Подовжена ротонда ...

Бікуполи

Повернуті трикутні бікуполи є напівправильними многогранниками (в цьому випадку архімедовими тілами), тобто вони не належать до класу многогранників Джонсона.

Більше інформації Прямі куполи, Повернуті куполи ...

Куполоротонди і біротонди

Більше інформації Куполоротонди, Біротонди ...

Подовжені бікуполи

Більше інформації Подовжені прямі бікуполи[en], Подовжені повернуті бікуполи[en] ...

Подовжені куполоротонди і біротонди

Більше інформації Подовжені куполоротонди, Подовжені біротонди ...

Скручені подовжені бікуполи, куполоротонди і біротонди

Кирпаті[en] антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є многогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників.

Більше інформації Скручені подовжені бікуполи[en], Скручена подовжена куполоротонда ...

Нарощені трикутні призми

Більше інформації J7(М1+ П3) (повторно), J49(П3+М2) ...

Нарощені п'ятикутні і шестикутні призми

Більше інформації Нарощені п'ятикутні призми, Нарощені шестикутні призми ...

Нарощені додекаедри

Більше інформації Правильний, J58(М15+М3) ...

Інші

Більше інформації Правильний, J11(М3+А5) (повторно) ...

Нарощені зрізані тетраедри і куби

Більше інформації J65(М10+М4), J66(М11+М5) ...

Нарощені зрізані додекаедри

Більше інформації Напівправильний, J68(М6+М12) ...

Скручені ромбоікосододекаедри

Більше інформації J72(М6+М14+М6=М6+М13+2М6), J73(М6+М14+М6) ...

Відсічені ромбоікосододекаедри

Більше інформації J76(М6+М14=2М6+М13), J77(М14+М6) ...

Кирпаті антипризми

Кирпаті[en] антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є многогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників.

Більше інформації J84(М25), Правильний ...

Відсічені ікосаедри

Більше інформації J86(М22), J87(М22+М3) ...
Remove ads

Класифікація за типами граней

Узагальнити
Перспектива

Трикутні грані

П'ять многогранників Джонсона є дельтаедрами, тобто, всі їх грані — правильні трикутники:

J12(2М1) Трикутна біпіраміда : J13(2М3) П'ятикутна біпіраміда : J17242) Скручена подовжена чотирикутна біпіраміда
J513+3М2) Тричі нарощена трикутна призма : J8425) Кирпатий двоклиноїд

Трикутні та квадратні грані

Двадцять чотири многогранники Джонсона мають тільки трикутні та чотирикутні грані:

J12)
Квадратна піраміда : J713)
Подовжена трикутна піраміда : J824)
Подовжена чотирикутна піраміда : J1024)
Скручена подовжена чотирикутна піраміда : J14131)
Подовжена трикутна біпіраміда : J15242)
Подовжена чотирикутна біпіраміда : J16353)
Подовжена п'ятикутна біпіраміда : J263+П3)
Двосхилий повернутий бікупол (гіробіфастигіум)
J27 (2М4)
Трисхилий прямий бікупол : J28 (2М5)
Чотирисхилий прямий бікупол : J295+М5) Чотирисхилий повернутий бікупол : J35464)
Подовжений трисхилий прямий бікупол : J3646+М4)
Подовжений трисхилий повернутий бікупол : J3758+М5)
Подовжений чотирисхилий повернутий бікупол : J44464)
Скручений подовжений трисхилий бікупол : J45585)
Скручений подовжений чотирисхилий бікупол
J4932)
Нарощена трикутна призма : J503+2М2)
Двічі нарощена трикутна призма : J8528)
Кирпата квадратна антипризма : J8622)
Клинокорона : J87223)
Нарощена клинокорона : J8823)
Велика клинокорона : J8921)
Сплощена велика клинокорона : J9024)
Оперезаний двоклинник

Трикутні і п'ятикутні грані

Одинадцять тіл Джонсона мають тільки трикутні і п'ятикутні грані:

J23)
П'ятикутна піраміда[en] : J1135)
Скручена подовжена п'ятикутна піраміда : J34(2М9)
П'ятисхила пряма біротонда : J489109)
Скручена подовжена п'ятисхила біротонда : J58153)
Нарощений додекаедр : J593153)
Двічі протилежно нарощений додекаедр
J6015+2М3)
Двічі косо нарощений додекаедр : J6115+2М3)
Тричі нарощений додекаедр : J6273)
Двічі косо відсічений ікосаедр : J637)
Тричі відсічений ікосаедр : J6471)
Нарощений тричі відсічений ікосаедр

Трикутні, квадратні і шестикутні грані

Вісім многогранників Джонсона мають тільки трикутні, квадратні і шестикутні грані:

J34)
Трисхилий купол : J1846)
Подовжений трисхилий купол : J2246)
Скручений подовжений трисхилий купол : J5462)
Нарощена шестикутна призма
J55262)
Двічі протилежно нарощена шестикутна призма : J566+2М2)
Двічі косо нарощена шестикутна призма J576+3М2)
Тричі нарощена шестикутна призма : J65104)
Нарощений зрізаний тетраедр

Трикутні, квадратні і восьмикутні грані

П'ять многогранників Джонсона мають тільки трикутні, квадратні і восьмикутні грані:

J45)
Чотирисхилий купол : J195+ П8)
Подовжений чотирисхилий купол : J235+ А8)
Скручений подовжений чотирисхилий купол
J66115)
Нарощений зрізаний куб : J675115)
Двічі нарощений зрізаний куб
Remove ads

Вписувані у сферу многогранники Джонсона

25 многогранників Джонсона мають вершини, які лежать на одній сфері: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Всі ці многогранники можна отримати з правильних або однорідних многогранників шляхом повороту (купола) або відсікання (купола чи піраміди)[4].

Більше інформації Октаедр, Кубооктаедр ...
Більше інформації Ікосаедр, Ікосододекаедр ...
Ромбоікосододекаедр (відсічений)
J56)
Thumb
J76614)
Thumb
J8014)
Thumb
J81136)
Thumb
J8313)
Thumb
Ромбоікосододекаедр (+ поворот)
J72(М6146)
Thumb
J73(М614+М6)
Thumb
J74(2М6136)
Thumb
J75(3М613)
Thumb
J7714+М6)
Thumb
J78136+М6)
Thumb
J7913+2М6)
Thumb
J8214+М6)
Thumb
Remove ads

Див. також

Примітки

Література

Посилання

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads