Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne – twierdzenie utworzone z innego twierdzenia przez zamianę założenia z tezą^[1]. Twierdzenie odwrotne da się zbudować z każdej implikacji, czyli zdania postaci „jeśli A, to B” lub analogicznego; symbolicznie: ${\displaystyle A\Rightarrow B.}$ Wtedy twierdzeniem odwrotnym jest „jeśli B, to A”: ${\displaystyle B\Rightarrow A,}$ np.:

• twierdzenie odwrotne do „Każdy poseł jest pełnoletni” to „Każdy pełnoletni jest posłem”;
• implikacja odwrotna do „Myślę, więc jestem” to „Jestem, więc myślę”.

Nie mylić z: twierdzenie przeciwne.

Wyjściowe twierdzenie, z którego zbudowano twierdzenie odwrotne, bywa nazywane twierdzeniem prostym^[2]. Kiedy omawia się twierdzenie i jego odwrotność, nazwa „twierdzenie proste” pozwala uniknąć powtórzeń i skrócić wypowiedź – przykładowo w kontekście twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa samo twierdzenie Pitagorasa bywa nazywane krócej twierdzeniem prostym^[3][4]. Twierdzenie proste jest odwrotne do swojego twierdzenia odwrotnego, dlatego twierdzenie odwrotne to relacja wzajemna między implikacjami^[5].

Ten artykuł dotyczy głównie twierdzeń odwrotnych w matematyce. Twierdzenie odwrotne do prawdziwego może być prawdziwe lub nie, co pokazano na przykładach z różnych działów jak arytmetyka, geometria, algebra i analiza.

Przykłady

Równość wszystkich czterech kątów to gwarancja (warunek wystarczający) równości przekątnych: ${\displaystyle \sphericalangle ABC=\sphericalangle BCD=}$${\displaystyle \sphericalangle CDA=\sphericalangle DAB}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle |AC|=|BD|}$

Twierdzenie odwrotne do powyższego jest fałszywe. Równość przekątnych nie gwarantuje równości wszystkich czterech kątów: ${\displaystyle |AC|=|BD|}$ ${\displaystyle \nRightarrow }$ ${\displaystyle \sphericalangle ABC=\sphericalangle BCD=}$${\displaystyle \sphericalangle CDA=\sphericalangle DAB.}$ To znaczy, że istnieje kontrprzykład, np. trapez równoramienny z obrazka

Prostopadłość przekątnych nie gwarantuje równości wszystkich boków, co pokazują ten obrazek deltoidu i obrazek trapezu wyżej

Matematyka elementarna

Poprawne twierdzenia, których twierdzenia odwrotne są prawdziwe:

• jeśli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych wynosi zero, to co najmniej jedna z tych liczb też wynosi zero^[6]:

${\displaystyle (ab=0)\Rightarrow (a=0\vee b=0).}$

• twierdzenie Pitagorasa w geometrii płaskiej (planimetrii):

jeśli trójkąt jest prostokątny, to długości jego boków spełniają równanie Pitagorasa^[7][8];

• twierdzenie Talesa w tym samym dziale matematyki^[9];
• twierdzenie Cevy tamże, czasem definiowane jako równoważność, a nie jako implikacja^[10][11];
• twierdzenie Menelaosa – też czasem definiowane jako równoważość^[12][13];
• twierdzenie o linii środkowej w dowolnym trójkącie:

jeśli odcinek łączy środki boków, to jest równoległy do podstawy trójkąta i równy jej połowie^[14];

• jeśli czworokąt ma dwie pary równoległych boków, to jego przekątne dzielą się na połowy^[15];
• twierdzenie Ptolemeusza^[16];
• jeśli ostrosłup jest prosty, to jego krawędzie boczne są równej długości^[17];
• jeśli ostrosłup jest prosty, to jego krawędzie boczne są pod jednakowym kątem do podstawy^[17].

Twierdzenia, których odwrotności są fałszywe:

• jeśli liczba jest podzielna przez dziesięć, to jest podzielna przez pięć^[18]:

${\displaystyle 10|a\Rightarrow 5|a.}$

Kontrprzykłady do twierdzenia odwrotnego: 5, 15, 25, ... Te liczby są podzielne przez pięć, ale nie przez dziesięć.

• jeśli czworokąt ma wszystkie kąty równe^[a], to jego przekątne są równe^[19]. Na obrazku pokazano trapez równoramienny przeczący twierdzeniu odwrotnemu^[20];
• jeśli czworokąt ma wszystkie boki równe, to jego przekątne są prostopadłe^[21]. Implikacji odwrotnej przeczy dowolny deltoid z parą różnych boków^[22];
• jeśli czworokąt ma wszystkie boki równe, to tworzą one dwie pary równoległe^[b][21]. Dowolny równoległobok o różnych bokach dowodzi fałszu twierdzenia odwrotnego^[23].

Matematyka wyższa

Poprawne twierdzenia z prawdziwym twierdzeniem odwrotnym:

• twierdzenie Gaussa-Lucasa w analizie zespolonej^[24].

Prawdziwe twierdzenia, których twierdzenia odwrotne są fałszywe:

• jeśli działanie dwuargumentowe jest łączne, to każdy element ma względem tego działania co najwyżej jeden element odwrotny^[25]. Dla twierdzenia odwrotnego kontrprzykładem są oktoniony – w zbiorze tych niezerowych jest jednoznaczne dzielenie, ale mnożenie nie jest łączne^[26];
• jeśli nieskończony ciąg niezerowych liczb rzeczywistych ma granicę niewłaściwą ${\displaystyle (\pm \infty ),}$ to ciąg wyrazów odwrotnych dąży do zera^[27]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall n\in \mathbb {N} _{+}:a_{n}\in \mathbb {R} _{\neq 0};\\&\lim _{n\to \infty }a_{n}\in \{\pm \infty \}\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{a_{n}}}=0;\end{aligned}}}$

• warunek konieczny zbieżności szeregu liczb rzeczywistych: jeśli szereg jest zbieżny, to jego wyrazy (składniki) dążą do zera^[28].

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\in \mathbb {R} \Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=0;}$

• twierdzenie Darboux: każda funkcja ciągła ma własność Darboux. Funkcje o tej własności mogą być nieciągłe^[29];
• jeśli funkcja rzeczywista ma w jakimś punkcie pochodną – czyli jest w nim różniczkowalna – to jest w tym punkcie ciągła^[30];
• twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej – jest to warunek konieczny na to, żeby punkt różniczkowalności był ekstremum funkcji, ale nie jest to warunek wystarczający (gwarancja)^[31].

Zobacz też

• twierdzenie przeciwstawne

Uwagi

1. takie czworokąty są znane jako prostokąty
2. krótko: każdy romb należy do równoległoboków