Каирская пятиугольная мозаика

Каирская пятиугольная мозаика является двойственной полуправильной мозаикой на плоскости. Мозаика получила такое название по египетскому городу Каир, улицы которого вымощены такими плитками^[1][2]. Мозаика является одной из 15 известных равногранных (то есть имеющих грани только одного вида) пятиугольных мозаик.

Каирская пятиугольная мозаика
Тип	Двойственная полуправильная мозаика[англ.]
Грани	неправильные пятиугольники
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Симметрия	p4g, [4+,4], (4*2) p4, [4,4]+, (442)
Симметрия вращения	p4, [4,4]+, (442)
Двойственная мозаика	плосконосая квадратная мозаика
Конфигурация грани	V3.3.4.3.4 |
Свойства	транзитивная по граням

Мозаика также называется сетью Макмагона^[3] по имени Перси Александра Макмагона^[англ.], опубликовавшего в 1921 году статью «New Mathematical Pastimes» (Новые математические развлечения)^[4].

Конвей называет мозаику 4-fold pentille (4-кратный пятипаркет)^[5].

Как 2-мерная кристаллическая решётка мозаика имеет те же специальные свойства, что и шестиугольная решётка. Обе решётки являются стандартной реализацией (в терминах М. Котани и Т. Сунада^[англ.]) для кристаллических решёток общего вида^[6][7].

Геометрия

Геометрия пятиугольников

Грани мозаики не являются правильными пятиугольниками — их стороны не равны (они имеют четыре длинные и одну короткую стороны с отношением ${\displaystyle 1:{\sqrt {3}}-1}$^[8]), а углы пятиугольника составляют (последовательно) ${\displaystyle 120^{\circ },120^{\circ },90^{\circ },120^{\circ },90^{\circ }}$. Мозаика имеет конфигурацию грани V3.3.4.3.4.

Мозаика похожа на призматическую пятиугольную мозаику^[англ.] с конфигурацией грани V3.3.3.4.4, но в этой мозаике два прямых угла находятся рядом.

Вариации

Каирская пятиугольная мозаика имеет два вида с пониженной симметрией, которые являются равногранными пятиугольными мозаиками типов 4 и 8:

p4 (442)	pgg (22×)
b=c, d=e B=D=90°	b=c=d=e 2B+C=D+2E=360°

Двойственная мозаика

Мозаика является двойственной для плосконосой квадратной мозаики, состоящей из двух квадратов и трёх равносторонних треугольников вокруг каждой вершины^[9].

Связь с шестиугольными мозаиками

Эту мозаику можно рассматривать как объединение двух перпендикулярных шестиугольных мозаик, растянутых в ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ раз. Каждый Шестиугольник делится на четыре пятиугольника. Шестиугольники можно сделать вогнутыми, что приведёт к вогнутым пятиугольникам^[10]. Альтернативно, одну шестиугольную мозаику можно оставить правильной, а другую сжать и растянуть (в разных направлениях) в ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ раз, что приводит к образованию 2 видов пятиугольников.

Топологически эквивалентные мозаики

Как двойственная плосконосой квадратной мозаике данная мозаика имеет фиксированные пропорции. Однако её можно подстроить под другие геометрические формы с той же топологической связностью и другой симметрией. Например, эти мозаики топологически идентичны.

Переплетение «рогожка»[англ.]*		Наложение на каирскую мозаику

Усечённая каирская пятиугольная мозаика

Усечение 4-валентных вершин создаёт мозаику, связанную с многогранником Голдберга^[англ.], и ей может быть дан символ {4+,4}_2,1. Пятиугольники усекаются до семиугольников. Двойственная мозаика к {4,4+}_2,1 имеет только треугольные грани и связана с геодезическим многогранником^[англ.]. Её можно рассматривать как плосконосую квадратную мозаику, в которой квадраты заменены четырьмя треугольниками.

Усечённая каирская пятиугольная мозаика

Кис-плосконосая квадратная мозаика

Связанные многогранники и мозаики

Каирская пятиугольная мозаика подобна призматической пятиугольной мозаике^[англ.] с конфигурацией граней V3.3.3.4.4, двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным, в которых смешаны два типа пятиугольников. Здесь они нарисованы с выделением цветом рёбер^[11].

V3.3.3.4.4

V3.3.4.3.4

Связанные пятиугольные мозаики
Каирская пятиугольная мозаика		2-однородные двойственные
p4g (4*2)		p2, (2222)	pgg (22×)	cmm (2*22)
V3.3.4.3.4		(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)
Призматическая пятиугольная мозаика		3-однородные двойственные
cmm (2*22)		p2 (2222)	pgg (22×)	p2 (2222)	pgg (22×)
V3.3.3.4.4		(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)

Каирская пятиугольная мозаика находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.4.3.n.

4n2 симметрии плосконосых мозаик: 3.3.4.3.n
Симметрия 4n2	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Paracomp.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Плосконосые мозаики
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гиро- мозаики
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Она также находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.n.3.n.

Варианты симметрии 4n2 плосконосых мозаик: 3.3.n.3.n
Симметрия 4n2	Сферияеские		Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные
	222	322	442	552	662	772	882	∞∞2
Тела с отсечёнными вершинами
Конфиг.	3.3.2.3.2	3.3.3.3.3	3.3.4.3.4	3.3.5.3.5	3.3.6.3.6	3.3.7.3.7	3.3.8.3.8	3.3.∞.3.∞
Повёрнытые тела
Конфиг.	V3.3.2.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.5.3.5	V3.3.6.3.6	V3.3.7.3.7	V3.3.8.3.8	V3.3.∞.3.∞

См. также

• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Список однородных мозаик^[англ.]