Лемніскатна еліптична функція

У математиці лемніскатна еліптична функція — це еліптична функція, що пов'язана з довжиною дуги лемніскати Бернуллі.

Лемніскатна функція синуса (червона) та лемніскатна функція косинуса (фіолетова) дійсного аргументу ${\displaystyle x}$ у порівнянні з тригонометричною функцією синус ${\displaystyle y=\sin(\pi x\omega )}$ (блідно-червона пунктирна лінія).

Вперше вона була досліджена Джуліо Карло де Тоскі ді Фаньяно^[en] у 1718 році, та пізніше Леонардом Ейлером, Карлом Фрідріхом Гаусом та іншими.

Лемніскатні функції синуса та косинуса, для позначення яких зазвичай використовують символи ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ й ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ (іноді ${\displaystyle \operatorname {sinlem} }$, ${\displaystyle \operatorname {coslem} }$ або ${\displaystyle \operatorname {sinlemn} }$ та ${\displaystyle \operatorname {coslemn} }$)^[1], є аналогами тригонометричних функцій синуса та косинуса. У той час як тригонометричний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди в колі одиничного діаметра ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x}$, лемніскатний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди лемніскати ${\displaystyle {\big (}x^{2}+y^{2}{\big )}^{2}=x^{2}-y^{2}}$.

Періоди лемніскатних функції пов'язані з числом ${\displaystyle \varpi =2{,}622057\dots }$, яке називають лемніскатною константою, що є відношенням лемніскатного периметра до його діаметра.

Функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ та ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ мають квадратну періодичну ґратку^[en] (кратну гауссовим цілим числам) з фундаментальними періодами^[en] ${\displaystyle {\big \{}(1+{\rm {i}})\varpi ,(1-{\rm {i}})\varpi {\big \}}}$,^[2] і є окремим випадком двох еліптичних функцій Якобі на цій ґратці, ${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;{\rm {i}})}$, ${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;{\rm {i}})}$.

Аналогічно, гіперболічні лемніскатичні функції ${\displaystyle \operatorname {slh} }$ та ${\displaystyle \operatorname {clh} }$ мають квадратну періодичну ґратку з фундаментальними періодами ${\displaystyle {\big \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi {\rm {i}}{\big \}}}$.

Лемніскатні функції та гіперболічні функції пов'язані з еліптичною функцією Веєрштраса ${\displaystyle \wp (z;a,0)}$.

Лемніскатні функції синуса та косинуса

Означення

Лемніскатні функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ та ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ можна визначити відповідно як розв'язки задач Коші:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {sl} z={\big (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\big )}\operatorname {cl} z,\quad \operatorname {sl} (0)=0,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {cl} z=-{\big (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\big )}\operatorname {sl} z,\quad \operatorname {cl} (0)=1,\end{aligned}}}$

або, еквівалентно, визначити як обернені функції для еліптичного інтеграла, тобто як відображення Шварца–Крістофеля^[en] з одиничного круга комплексної площини у квадрат з кутами ${\displaystyle {\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi {\rm {i}},-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi {\rm {i}}{\big \}}}$:^[4]

${\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Поза цим квадратом функції можуть бути аналітично продовжені на всю комплексну площину за допомогою серій віддзеркалень.

Для порівняння, функції синуса і косинуса на колі можна визначити, відповідно, як розв'язки задач Коші:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\sin z=\cos z,\quad \sin(0)=0,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\cos z=-\sin z,\quad \cos(0)=1,\end{aligned}}}$

або як обернені функції для відображення з верхньої півплощини в напівнескінченну смугу з дійсними частинами між ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$ та ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$, і додатною уявною частиною:

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.}$

Довжина кривої лемніскати Бернулі

Лемніскатні функції синуса та косинуса пов'язують довжину кривої лемніскати з відстанню від кінцевої точки до початку координат.

Тригонометричні функції синуса та косинуса аналогічно пов'язують довжину дуги кола одиничного діаметра з відстанню від кінцевої точки до початку координат.

Лемніската Бернулі з напівшириною 1 є геометричним місцем точок на площині таких, що добуток відстані від яких до двох фокусних точок ${\displaystyle F_{1}={\big (}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\big )}}$ та ${\displaystyle F_{2}={\big (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\big )}}$ є константа ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Це є плоска крива четвертого порядку^[en], що задовольняє рівняння ${\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta }$ в полярних координатах або рівняння ${\displaystyle {\big (}x^{2}+y^{2}{\big )}^{2}=x^{2}-y^{2}}$ в декартових координатах. Точки на лемніскаті на відстані ${\displaystyle r}$ від початку координат є перетинами кола ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ та гіперболи ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=r^{4}}$. Точка перетину у першій чверті має наступні декартові координати:

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\bigg (}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\big (}1+r^{2}{\big )}}},{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\big (}1-r^{2}{\big )}}}{\bigg )}.}$

Використовуючи параметризацію з ${\displaystyle r\in [0,1]}$ для чверті лемніскати, довжину кривої від початку координат до точки ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$ дорівнює:^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,{\rm {d}}t=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\,{\rm {d}}t=\int _{0}^{r}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\operatorname {arcsl} r.}$

Аналогічно, довжина кривої від точки ${\displaystyle (1,0)}$ до точки ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$ дорівнює:

${\displaystyle \int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}{\rm {d}}t=\int _{r}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.}$

Або у зворотньому порядку, за допомогою лемніскатних функцій синуса та косинуса визначають відстань від початку координат як функції довжини кривої, відповідно від початку координат до точки ${\displaystyle (1,0)}$. Аналогічно, функції синуса та косинуса пов'язують довжину хорди з довжиною кривої в колі одиничного діаметра, яке задається рівнянням ${\displaystyle r=\cos \theta }$ в полярних координатах, або рівнянням ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x}$ в декартових координатах, використовуючи вищезгадані аргументи, але з параметризацією:

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}{\biggr )}.}$

Лемніскатний інтеграл та лемніскатні функції задовольняють тотожності подвійного аргументу, яку запропонував Фаньяно у 1718 році:^[6]

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}},}$

якщо

${\displaystyle z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}\quad {\text{та}}\quad 0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.}$

Пізніше математики узагальнили цей результат. За аналогією з конструктивними багатокутниками^[en] на колі лемніскату можна розділити на ${\displaystyle n}$ сегментів однакової довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle n}$ має вигляд ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$, де ${\displaystyle k}$ — натуральне число, а всі ${\displaystyle p_{j}}$ (якщо є) — різні числа Ферма.^[7] «Необхідність» в теоремі була доведена Нільсом Абелем в 1827—1828 роках, а «достатність» була доведена Майклом Розеном^[en] в 1981 році.^[8] Еквівалентно, лемніскату можна розділити на ${\displaystyle n}$ сегментів рівної довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку, тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \log _{2}\varphi (n)}$ є натуральним числом (де ${\displaystyle \varphi (n)}$ є функцією Ейлера). Лемніската не вважається намальованою, а теорема відноситься лише до побудови точок поділу. Нехай ${\displaystyle r_{j}=\operatorname {sl} {\tfrac {2j\varpi }{n}}}$, тоді ${\displaystyle n}$ точками поділу для лемніскати ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}$ є

${\displaystyle \left(r_{j}{\sqrt {\frac {1+r_{j}^{2}}{2}}},(-1)^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}-{\frac {2j}{n}}\right\rfloor }r_{j}{\sqrt {\frac {1-r_{j}^{2}}{2}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\},}$

де ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ — функція підлоги. Нижче наведені деякі частинні значення для ${\displaystyle \operatorname {sl} {\tfrac {2\varpi }{n}}}$.

Довжина дуги кривої пружного деформування

Лемніскатна функція синуса пов'язує довжину дуги з координатою ${\displaystyle x}$ кривої пружного деформування.

Обернена функція лемніскати синуса описує довжину ${\displaystyle s}$ дуги відносно координати ${\displaystyle x}$ кривої пружного деформування^[en].^[9] Ця крива має координату ${\displaystyle y}$ і довжину дуги:

${\displaystyle y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\,{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Крива пружного деформування є розв'язком задачі, яку запропонував Якоб Бернуллі в 1691 для опису форм ідеалізованого гнучкого стержня, зафіксованого у вертикальному положенні у нижньому кінці і який відтягується від верхнього кінця до горизонтально положення. Запропонований Бернуллі розв'язок став основою теорії балки Ейлера--Бернуллі, яка була розроблена Ейлером в 18 столітті.

Лемніскатна константа

Функція ${\displaystyle \operatorname {sl} z}$ на комплексній площині.^[10] На рисунку видно, що фундаментальні періоди ${\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi }$ та ${\displaystyle (1-{\rm {i}})\varpi }$ є «мінімальними», тобто мають найменше абсолютне значення з всіх періодів, дійсна частина яких невід'ємна.

Лемніскатні функції мають мінімальний період ${\displaystyle 2\varpi }$ і фундаментальні комплексні періоди ${\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi }$ та ${\displaystyle (1-{\rm {i}})\varpi }$ для константи ${\displaystyle \varpi }$ (у позначеннях Гауса), яку називають лемніскатною константою,^[11][12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=2\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {t-t^{3}}}}\\&=4\int _{0}^{\infty }\left({\sqrt[{4}]{1+t^{4}}}-t\right)\,{\rm {d}}t=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-t^{4}}}\mathop {{\rm {d}}t} =3\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{4}}}\,{\rm {d}}t\\&=2K({\rm {i}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}}={\sqrt {\pi }}{\rm {e}}^{\beta '(0)}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}{\frac {\zeta (3/4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}}}\\&=2{,}62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots ,\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle K}$ — повний еліптичний інтеграл першого роду з модулем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle {\rm {B}}}$ —— бета-функція, ${\displaystyle \gamma }$ — гамма-функція, ${\displaystyle \beta '}$ — похідна бета-функції Діріхле, ${\displaystyle \varsigma }$ — дзета-функція Рімана. Однак іноді величину ${\displaystyle 2\varpi }$ називають лемніскатною константою, і одна з «лемніскатних констант» Джона Тодда — це величина ${\displaystyle \varpi /2}$.^{[13][14][15][16][17]} Тут використовується лише позначення Гауса для опису лемніскатної константи. Геометрично, ${\displaystyle \varpi }$ є відношенням периметра лемніскати Бернуллі до її діаметра. Трансцендентність лемніскатної константи була доведена Теодором Шнайдером^[en] в 1937 році.^[18] У 1975 році Григорій Чудновський довів, що ${\displaystyle \pi }$ і ${\displaystyle \varpi }$ є алгебраїчно незалежними над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[19][20] Пов'язана константа ${\displaystyle G=\varpi /\pi =0{,}8346\ldots }$ є константою Гаусса.

Геометричне зображення констант ${\displaystyle \varpi /2}$ та ${\displaystyle \varpi /{\sqrt {2}}}$.

Лемніскатні функції задовольняють основне співвідношення${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}.}$

Крім того, константа ${\displaystyle \varpi }$ пов'язана з площею під кривою ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$. Нехай ${\displaystyle \pi _{n}:={\rm {B}}{\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}$, тоді подвійна площа в першій чверті під кривою ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$ дорівнює ${\displaystyle 2\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{n}}\pi _{n}.}$ У випадку рівняння четвертого порядку: ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{4}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi }$.

У 1738 році Ейлер відкрив, що для кривої пружного деформування:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arc} \operatorname {length} \cdot \operatorname {height} =\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}={\frac {\varpi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\varpi }}={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$

Формула Вієта для числа ${\displaystyle \pi }$ може бути записана як

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots .\end{aligned}}}$

Аналогічна формула для ${\displaystyle \varpi }$:^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}/{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots .\end{aligned}}}$

Формула Валіса для ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}$

Аналогічна формула для ${\displaystyle \varpi }$:^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n-2}}\cdot {\frac {4n}{4n+1}}\right)=\\&={\biggl (}{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{6}}\cdot {\frac {8}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{10}}\cdot {\frac {12}{13}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}$

Пов'язаною з цим результатом є формула:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n}}\cdot {\frac {4n+2}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{8}}\cdot {\frac {10}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {14}{13}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}$

Нескінченний ряд для ${\displaystyle \varpi /\pi }$ отриманий Гауссом має вигляд:^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}}=1-{\frac {1^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}}-{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}}+\cdots .\end{aligned}}}$

Формула Мачіна^[en] для ${\displaystyle \pi }$ має вигляд ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{5}}-\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{239}}}$, і декілька аналогічних формул для ${\displaystyle \pi }$ можна отримати з використанням тригонометричних формул для суми кутів, наприклад, формула Ейлера ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{3}}.}$ Аналогічні формули можна записати і для ${\displaystyle \varpi }$, включаючи ті, що знайшов Гаусс:^[15]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.}$ Лемніскатну константу можна швидко обчислити за допомогою ряду:^[25]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi =2^{-1/2}\pi \left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi n^{2}}\right)^{2}=2^{1/4}\pi {\rm {e}}^{-\pi /12}\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi p_{n}}\right)^{2},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle p_{n}=(3n^{2}-n)/2}$ (для ${\displaystyle n\geq 1}$, це п'ятикутне число), або з використанням середнього арифметико-геометричного ${\displaystyle \operatorname {M} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi ={\frac {\pi }{\operatorname {M} {\big (}1,{\sqrt {2}}{\big )}}}.\end{aligned}}}$

У дусі аналогічному до базельської задачі можна записати наступну формулу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{z\in \mathbb {Z} [{\rm {i}}]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}({\rm {i}})={\frac {\varpi ^{4}}{15}},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\rm {i}}]}$ — гауссові числа, ${\displaystyle G_{4}(\tau )}$ — ряд Ейзенштейна з вагою 4.^[26]

Нулі, полюси і симетрії

При зсуві на ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi }$ лемніскатні функції ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ і ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ переходять одна в одну, а при зсуві на ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi }$ функції є додатково повернутими та взаємооберненими:^[27]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&\operatorname {cl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}=\mp \operatorname {sl} z,\quad &&\operatorname {cl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi {\bigr )}={\frac {\mp {\rm {i}}}{\operatorname {sl} z}},\\&\operatorname {sl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}=\pm \operatorname {cl} z,\quad &&\operatorname {sl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi {\bigr )}={\frac {\pm {\rm {i}}}{\operatorname {cl} z}}.\end{alignedat}}}$

Подвоєння цих зсувів одиничними елементами гауссових цілих чисел кратних ${\displaystyle \varpi }$ (тобто ${\displaystyle \pm \varpi }$ або ${\displaystyle \pm {\rm {i}}\varpi }$) приводить до зміни знаку функцій (інволюції):

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )=\operatorname {cl} (z+{\rm {i}}\varpi )=-\operatorname {cl} z,\\\operatorname {sl} (z+\varpi )=\operatorname {sl} (z+{\rm {i}}\varpi )=-\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}$

Як наслідок, обидві функції інваріантні відносно зсуву на парне гаусове ціле число кратне ${\displaystyle \varpi }$.^[28] Тобто, перестановка ${\displaystyle (a+b{\rm {i}})\varpi }$ ${\displaystyle a+b=2k}$ для цілих чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} {\bigl (}z+(1+{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} {\bigl (}z+(1-{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z,\\&\operatorname {sl} {\bigl (}z+(1+{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} {\bigl (}z+(1-{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}$

Це робить їх еліптичними функціями (двічі періодичні мероморфні функції в комплексній площині) з діагонально-квадратною періодичною ґраткою^[en] фундаментальних періодів ${\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi }$ та ${\displaystyle (1-{\rm {i}})\varpi }$.^[29]

Еліптичні функції з періодичною квадратною ґраткою більш симетричні, ніж довільні еліптичні функції, що слідують симетрії ґратки.

Віддзеркалення і повороти на чверть обороту аргументів лемніскатної функції мають прості вирази:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} {\bar {z}}={\overline {\operatorname {cl} z}},\\&\operatorname {sl} {\bar {z}}={\overline {\operatorname {sl} z}},\\&\operatorname {cl} {\rm {i}}z={\frac {1}{\operatorname {cl} z}},\\&\operatorname {sl} {\rm {i}}z={\rm {i}}\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}$

Функція ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ має прості нулі в гаусових цілих числах кратних ${\displaystyle \varpi }$, комплексних числах вигляду ${\displaystyle a\varpi +b\varpi {\rm {i}}}$ для цілих чисел ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$. Вона має прості полюси у гаусових напівцілих числах кратних ${\displaystyle \varpi }$, комплексних числах вигляду ${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi {\rm {i}}}$ з лишком ${\displaystyle (-1)^{a-b+1}{\rm {i}}}$. Функція ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ віддзеркалюється і зміщується від функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$, ${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}}$. Вона має нулі при аргументах ${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi {\rm {i}}}$ і полюси при аргументах ${\displaystyle a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi {\rm {i}}}$ з лишками ${\displaystyle (-1)^{a-b}{\rm {i}}}$.

Оскільки лемніскатний синус є мероморфною функцією, то його можна записати як відношення голоморфних функцій. Гаусс показав, що функція ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ має наступний розклад через добутки, який відображає розподіл його нулів і полюсів:^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}},\end{aligned}}}$

де

${\displaystyle {\begin{aligned}M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).\end{aligned}}}$

Тут, ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ — відповідно нулі та полюси функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$, які знаходяться у першій чверті ${\displaystyle \operatorname {Re} z>0}$, ${\displaystyle \operatorname {Im} z\geq 0}$. Гаусс висунув гіпотезу, що ${\displaystyle \ln N(\varpi )=\pi /2}$ (пізніше це було доведено), і зауважив, що це «чудова властивість і її доведення обіцяє серйозний прогрес в аналізі».^[31][32]

Існують також нескінченні ряди, що відображають розподіл нулів і полюсів функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$:^[33][33][34]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi {\rm {i}}}},\\&\operatorname {sl} z=-{\rm {i}}\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi {\rm {i}}}}.\end{aligned}}}$

Тотожність піфагорійського типу

Криві ${\displaystyle x^{2}\bigoplus y^{2}=a}$ при різних значеннях ${\displaystyle a}$: для від'ємних ${\displaystyle a}$ — зелені, для додатних ${\displaystyle a}$ — сині, ${\displaystyle a=\pm }$ — червоні, ${\displaystyle a=\infty }$ — чорні.

Лемніскатні функції задовольняють тотожність піфагорійського типу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}z+\operatorname {sl} ^{2}z+\operatorname {cl} ^{2}z\operatorname {sl} ^{2}z=1.\end{aligned}}}$

Як результат, ${\displaystyle (x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)}$ — параметричне рівняння для кривої четвертого порядку^[en] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1}$.

Цю тотожність можна також представити як^[35]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}=2,\\&\operatorname {cl} ^{2}z={\frac {1-\operatorname {sl} ^{2}z}{1+\operatorname {sl} ^{2}z}},\quad \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1-\operatorname {cl} ^{2}z}{1+\operatorname {cl} ^{2}z}}.\end{aligned}}}$

Позначивши оператор тангенса суми як ${\displaystyle a\oplus b:=\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} a+\operatorname {arctg} b)}$, отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}z\oplus \operatorname {sl} ^{2}z=1.\end{aligned}}}$

Похідні та інтеграли

Похідні:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl} 'z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}},\\&\operatorname {cl} '^{2}z=1-\operatorname {cl^{4}} z,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl} 'z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}},\\&\operatorname {sl} '^{2}z=1-\operatorname {sl} ^{4}z.\end{aligned}}}$

Другі похідні лемніскатних функцій синуса і косинуса є їх від'ємними подвійними кубами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl} ^{3}z,\\{\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl} ^{3}z.\end{aligned}}}$

Інтеграли від лемніскатні функції виражаються через функцію арктангенс:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \operatorname {cl} z\,{\rm {d}}z=\operatorname {arctg} \operatorname {sl} z+C,\\&\int \operatorname {sl} z\,{\rm {d}}z=-\operatorname {arctg} \operatorname {cl} z+C.\end{aligned}}}$

Сума аргументів і деякі тотожності

Як і тригонометричні функції, леменіскатні функції задовольняють тотожності для суми і різниці аргументів. Оригінальна тотожність, яку використовував Фаньяно для поділу навпіл лемніскати, має наступний вигляд:^[36]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\operatorname {sl} 'v+\operatorname {sl} v\operatorname {sl} 'u}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}.\end{aligned}}}$

З використанням похідних і тотожності піфагорійського типу можна записати тотожність Фаньяно в термінах функцій ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ і ${\displaystyle \operatorname {cl} }$. Визначаючи оператор тангенса суми ${\displaystyle a\oplus b:=\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} a+\operatorname {arctg} b)}$ і оператор тангенса різниці ${\displaystyle a\ominus b:=a\oplus (-b)}$, формули для суми і різниці аргументів можуть бути представлені як^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} (u+v)=\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v\operatorname {cl} v}},\\&\operatorname {cl} (u-v)=\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\ \operatorname {sl} v,\\&\operatorname {sl} (u+v)=\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v\operatorname {cl} v}},\\&\operatorname {sl} (u-v)=\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\operatorname {sl} v.\end{aligned}}}$

Вони нагадують відповідні тригонометричні аналоги:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp \sin u\sin v,\\\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm \cos u\sin v.\end{aligned}}}$

Формули половинного аргументу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}},\\\operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}.\end{aligned}}}$

Формули подвійного аргументу:^[38]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}},\\&\operatorname {sl} 2x=2\operatorname {sl} x\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}.\end{aligned}}}$

Формули потрійного аргументу:^[38]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} 3x={\frac {-3\operatorname {cl} x+6\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\operatorname {cl} ^{4}x-3\operatorname {cl} ^{8}x}},\\&\operatorname {sl} 3x={\frac {3\operatorname {sl} x-6\operatorname {sl} ^{5}x-\operatorname {sl} ^{9}x}{1+6\operatorname {sl} ^{4}x-3\operatorname {sl} ^{8}x}}.\end{aligned}}}$

Лемнатомні многочлени

Нехай ${\displaystyle L}$ — ґратка вигляду:

${\displaystyle {\begin{aligned}L=\mathbb {Z} (1+{\rm {i}})\varpi +\mathbb {Z} (1-{\rm {i}})\varpi .\end{aligned}}}$

Крім того, нехай ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\rm {i}})}$, ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [{\rm {i}}]}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \beta =m+{\rm {i}}n}$, ${\displaystyle {\gamma }=m'+{\rm {i}}n'}$ (де ${\displaystyle m,n,m',n'\in \mathbb {Z} }$), ${\displaystyle m+n}$ та ${\displaystyle m'+n'}$ — непарні, ${\displaystyle {\gamma }\equiv 1\ {\rm {mod}}\ 2(1+{\rm {i}})}$ і ${\displaystyle \operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)}$. Тоді

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\beta }(x)={\rm {i}}^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}\end{aligned}}}$

для деяких взаємно простих многочленів ${\displaystyle P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$ та деяких ${\displaystyle \varepsilon \in \{0,1,2,3\}}$,^[39] де

${\displaystyle {\begin{aligned}xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x),\end{aligned}}}$

та

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta }),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \delta _{\beta }}$ — будь-який генератор ${\displaystyle \beta }$-скруту (тобто ${\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L}$, і ${\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L}$ породжує ${\displaystyle (1/\beta )L/L}$ як ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модуль). Прикладами генераторів ${\displaystyle \beta }$-скруту є ${\displaystyle 2\varpi /\beta }$ та ${\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi /\beta }$. Многочлен ${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$ називається ${\displaystyle \beta }$-лемнатомним многочленом. Це мономорфізм, має степінь ${\displaystyle \left|({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }\right|}$, і є незвідним над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Лемнатомний многочлен є «лемніскатним аналогом» многочлену поділу кола,^[40]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{n}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}\left(x-{\rm {e}}^{2a\pi {\rm {i}}/n}\right).\end{aligned}}}$

${\displaystyle \beta }$-лемнатомний многочлен ${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)}$ є мінімальним многочленом для ${\displaystyle \operatorname {sl} \delta _{\beta }}$ в ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$. Наприклад, мінімальним многочленом для ${\displaystyle \operatorname {sl} (2\varpi /5)}$ (а також для ${\displaystyle \operatorname {sl} ((1+{\rm {i}})\varpi /5))}$ в ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ є

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,\end{aligned}}}$

та^[41]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} {\frac {2\varpi }{5}}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}\end{aligned}}}$

(еквівалентний вираз наведено в таблиці нижче). Іншим прикладом є^[40]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{-1+2{\rm {i}}}(x)=x^{4}-1+2{\rm {i}},\end{aligned}}}$

що є мінімальним многочленом для ${\displaystyle \operatorname {sl} (2\varpi /(-1+2{\rm {i}}))}$ (а також для ${\displaystyle \operatorname {sl} ((1+{\rm {i}})\varpi /(-1+2{\rm {i}}))=\operatorname {sl} ((1-3{\rm {i}})\varpi /5)}$ в ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$.

Частинні значення

Так само, як і для тригонометричних функцій, значення лемніскатних функцій можна обчислити для поділів лемніскати на ${\displaystyle n}$ частин однакової довжини, використовуючи лише елементарну арифметику і квадратні корені, тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle n}$ має вигляд ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$, де ${\displaystyle k}$ — невід'ємне ціле число, і кожне ${\displaystyle p_{\rm {i}}}$ (якщо є) — це різні прості числа Ферма.^[42] Співвідношення стають громіздким по мірі зростання ${\displaystyle n}$. Нижче наведено вирази для ділення лемніскати ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}$ на ${\displaystyle n}$ частин рівної довжини для деяких ${\displaystyle n\leq 20}$.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {cl} {\tfrac {2\varpi }{n}}}$	${\displaystyle \operatorname {sl} {\tfrac {2\varpi }{n}}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{5}}-1)\left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1\right)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}-1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}$	${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}]{5}}-1{\bigr )}{\Bigl (}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1{\Bigr )}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {{\sqrt {2{\bigl (}5-{\sqrt {5}}{\bigr )}}}+1-{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}$
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle {\sqrt {{\bigl (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\bigr )}{\Bigl (}{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Bigr )}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\bigl (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\bigr )}{\Bigl (}{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Bigr )}}}}$
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {{\sqrt {2{\bigl (}5-{\sqrt {5}}{\bigr )}}}-1+{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}]{5}}-1{\bigr )}{\Bigl (}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1{\Bigr )}}$

Степеневий ряд

Розклад в степеневий ряд функції лемніскати синуса у початку координат має вигляд:^[43]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-{\tfrac {1}{10}}z^{5}+{\tfrac {1}{120}}z^{9}-{\tfrac {11}{15600}}z^{13}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}},\end{aligned}}}$

де коефіцієнти ${\displaystyle a_{n}}$визначаються як

${\displaystyle {\begin{aligned}&n\not \equiv 1\ ({\rm {mod}}\ {4})\implies a_{n}=0,\\&a_{1}=1,\ \forall n\in \mathbb {N} _{0}\colon \ a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle i+j+k=n}$ позначає всі тричленні композиції для числа ${\displaystyle n}$. Наприклад, для обчислення ${\displaystyle a_{13}}$ можна побачити, що існує лише шість композицій для ${\displaystyle 13-2=11}$, які дають ненульовий внесок у суму: ${\displaystyle 11=9+1+1=1+9+1=1+1+9}$ та ${\displaystyle 11=5+5+1=5+1+5=1+5+5}$, тому

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{13}&=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.\end{aligned}}}$

Зв'язок з еліптичними функціями Веєрштрасса і Якобі

Лемніскатні функції тісно пов'язані з еліптичними функціями Веєрштрасса ${\displaystyle \wp (z;1,0)}$ («лемніскатний випадок») з інваріантами ${\displaystyle g_{2}=1}$ та ${\displaystyle g_{3}=0}$. Ця ґратка має фундаментальні періоди ${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi }$ та ${\displaystyle \omega _{2}={\rm {i}}\omega _{1}}$. Відповідні константи функції Вейєрштрасса мають вигляд: ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle e_{2}=0}$, ${\displaystyle e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}}$.

Пов'язаний випадок еліптичної функції Веєрштрасса з інваріантами ${\displaystyle g_{2}=a}$ та ${\displaystyle g_{3}=0}$ можна отримати за допомогою масштабного перетворення. Однак, цей випадок може включати комплексні числа. Якщо потрібно залишатися в межах дійсних чисел, то розглядають два випадки: ${\displaystyle a>0}$ та ${\displaystyle a<0}$. Періодичний паралелограм є квадратом або ромбом. Еліптичну функцію Вейєрштрасса ${\displaystyle \wp (z;-1,0)}$ називають «псевдолемніскатним випадком».^[44]

Квадрат лемніскати синуса можна представити як

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {\rm {i}}{2\wp ((1-{\rm {i}})z;-1,0)}}=-2\wp \left({\sqrt {2}}z+({\rm {i}}-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right),\end{aligned}}}$

де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса ${\displaystyle \wp }$ — інваріанти ґратки ${\displaystyle g_{2}}$ і ${\displaystyle g_{3}}$. Іншим представленням є

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {\varpi ^{2}}{\wp (z/\varpi ,{\rm {i}})}},\end{aligned}}}$

де другий аргумент еліптичної функції Веєрштрасса ${\displaystyle \wp }$ — відношення періодів ${\displaystyle \tau }$.^[45] Функція лемніскати синуса є раціональною функцією еліптичної функції Веєрштрасса та її похідної^[46]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp ((1+{\rm {i}})z;1/4,0)}{\wp '((1+{\rm {i}})z;1/4,0)}},\end{aligned}}}$

де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса ${\displaystyle \wp }$ інваріанти ґратки ${\displaystyle g_{2}}$ і ${\displaystyle g_{3}}$. У термінах відношення періодів ${\displaystyle \tau }$ отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp ((1+{\rm {i}})z/(2\varpi ),{\rm {i}})}{\wp '((1+{\rm {i}})z/(2\varpi ),{\rm {i}})}}.\end{aligned}}}$

Лемніскатні функції також можуть бути записані в термінах еліптичних функцій Якобі. Еліптичні функції Якобі ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ та ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ з додатним дійсним еліптичним модулем мають «вертикальну» прямокутну ґратку, що зорієнтована з дійсною та уявною осями. Крім того, функції ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ та ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ з модулем ${\displaystyle {\rm {i}}}$ (функції ${\displaystyle \operatorname {sd} }$ та ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ з модулем ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$) мають квадратну періодичну ґратку, повернуту на 1/8 оберту:^[47]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;{\rm {i}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\\&\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;{\rm {i}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\end{aligned}}}$

де другі аргументи — еліптичний модуль ${\displaystyle k}$.

Ще одне представлення лемніскатної функції ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ у термінах еліптичної функції Якобі ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ має вигляд

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} z=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}}),\end{aligned}}}$

де другий аргумент еліптичної функції Якобі ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ — еліптичний модуль ${\displaystyle k}$.

Зв'язок з модулярною лямбда-функцією

Лемніскатну функцію синуса можна використовувати для обчислення значень модулярної лямбда-функції:

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sl} \left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1){\rm {i}})}{1-\lambda ((2n+1){\rm {i}})}}}.\end{aligned}}}$

Наприклад,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )},\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7{\rm {i}})}{1-\lambda (7{\rm {i}})}}}=\operatorname {tg} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )},\\&\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )},\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )},\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )},\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9{\rm {i}})}{1-\lambda (9{\rm {i}})}}}=\operatorname {tg} {\Biggl (}{\frac {\pi }{4}}-\operatorname {arctg} {\Biggl (}{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}{\Biggr )}{\Biggr )}.\end{aligned}}}$

Методи обчислення

Швидкий алгоритм для наближення для ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ (які наближаються до ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ зі збільшенням ${\displaystyle N}$),

полягає в наступному:^[48]

• ${\displaystyle a_{0}\leftarrow 1;}$ ${\displaystyle b_{0}\leftarrow {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$
• for each ${\displaystyle n\geq 1}$ do
  • ${\displaystyle a_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+b_{n-1});}$ ${\displaystyle b_{n}\leftarrow {\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}};}$ ${\displaystyle c_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}-b_{n-1})}$
  • if ${\displaystyle c_{n}<{\textrm {tolerance}}}$ then
    • ${\displaystyle N\leftarrow n;}$ break
• ${\displaystyle \phi _{N}\leftarrow 2^{N}a_{N}{\sqrt {2}}x}$
• for each n from N to 0 do
  • ${\displaystyle \phi _{n-1}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{n}+{\arcsin }{\left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \phi _{n}\right)}\right)}$
• return ${\displaystyle {\frac {\sin \phi _{0}}{\sqrt {2-\sin ^{2}\phi _{0}}}}}$

Цей алгоритм ефективно використовує арифметично-геометричне середнє значення і

базується на перетвореннях Ландена^[en].^[49]

Декілька методів обчислення функції ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ передбачають спочатку заміну змінних ${\displaystyle \pi x=\varpi {\tilde {x}}}$, а потім обчислення ${\displaystyle \operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi )}$.

Метод гіперболічних рядів:^{[50][51][52][53]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\operatorname {ch} (x-(n+1/2)\pi )}},\\&{\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\operatorname {sh} \left(x-n\pi \right)}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi {\rm {i}})}}.\end{aligned}}}$

Метод рядів Фур'є:^[54]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\operatorname {ch} ((n+1/2)\pi )}},\ \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}},\\&{\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{{\rm {e}}^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\ \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi .\end{aligned}}}$

Лемніскатні функції можуть бути обчислені більш швидше за допомогою формул

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {\theta _{1}\left(x,{\rm {e}}^{-\pi }\right)}{\theta _{3}\left(x,{\rm {e}}^{-\pi }\right)}},\\&\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {\theta _{2}\left(x,{\rm {e}}^{-\pi }\right)}{\theta _{4}\left(x,{\rm {e}}^{-\pi }\right)}},\end{aligned}}}$

де

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta _{1}(x,{\rm {e}}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}{\rm {e}}^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\&\theta _{2}(x,{\rm {e}}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\&\theta _{3}(x,{\rm {e}}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\&\theta _{4}(x,{\rm {e}}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi n^{2}}\cos 2nx&\end{aligned}}}$

— тета-функції Якобі.^[55]

Два інші методи швидкого обчислення використовують наступні формули сум і добутків рядів:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=f\left({\frac {4\pi }{\varpi }}\sin x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {ch} [(2n-1)\pi ]}{\operatorname {ch} ^{2}[(2n-1)\pi ]-\cos ^{2}x}}\right),\\&\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=f\left({\frac {4\pi }{\varpi }}\cos x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {ch} [(2n-1)\pi ]}{\operatorname {ch} ^{2}[(2n-1)\pi ]-\sin ^{2}x}}\right),\\&\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=2{\rm {e}}^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2{\rm {e}}^{-2n\pi }\cos 2x+{\rm {e}}^{-4n\pi }}{1+2{\rm {e}}^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+{\rm {e}}^{-(4n-2)\pi }}},\\&\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=2{\rm {e}}^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2{\rm {e}}^{-2n\pi }\cos 2x+{\rm {e}}^{-4n\pi }}{1-2{\rm {e}}^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+{\rm {e}}^{-(4n-2)\pi }}},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} (2\operatorname {arctg} x)=2x/(1-x^{2})}$.

Ряд Фур'є для логарифма лемнікатного синуса має вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n({\rm {e}}^{n\pi }+(-1)^{n})}},\ \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Рамануджан відкрив наступні співвідношення для рядів:^[56]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{{\rm {e}}^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi ,\\&\operatorname {arctg} \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\operatorname {ch} ((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Обернені функції

Оберненою функцією для лемніскатного синуса є лемніскатний арксинус визначений як:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.\end{aligned}}}$

Її також можна представити за допомогою гіпергеометричної функції:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={x}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}\right).\end{aligned}}}$

Оберненою функцією для лемніскатного косинуса є лемніскатний арккосинус. Ця функція визначається наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x.\end{aligned}}}$

Для ${\displaystyle x}$ з інтервалу ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ отримуємо ${\displaystyle \operatorname {sl} (\operatorname {arcsl} x)=x}$ та ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {arccl} x)=x}$.

Для половини довжини лемніскатної дуги справедливі формули:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}=\sin {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\operatorname {sech} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )},\\&\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}=\operatorname {tg} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Співвідношення з використанням еліптичних інтегралів

Лемініскатний арксинус і лемніскатний арккосинус також можна представити за допомогою форми Лежандра.

Ці функції можна представити безпосередньо, використовуючи неповний еліптичний інтеграл першого роду:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arcsin {\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),\\&\operatorname {arcsl} x=2{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}F\left(\arcsin {\frac {{\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\right).\end{aligned}}}$

Довжини дуг лемніскати також можна виразити лише за допомогою довжин дуг еліпсів (обчислених за допомогою еліптичних інтегралів другого роду):

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}}$

Лемніскатний арккосинус має наступне співвідношення:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccl} x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}}$

Використання при інтегруванні

Лемніскатну функцію можна використовувати для інтегрування багатьох функцій. Ось список важливих інтегралів (константи інтегрування опущені):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\rm {d}}x=\operatorname {arcsl} x,\\&\int {\frac {1}{\sqrt {{\big (}x^{2}+1{\big )}{\big (}2x^{2}+1{\big )}}}}{\rm {d}}x=\operatorname {arcsl} {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}{\rm {d}}x=\operatorname {arcsl} {\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}{\rm {d}}x={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} {\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}1-x^{4}{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} {\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}x^{4}+1{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x=\operatorname {arcsl} {\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}1-x^{2}{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x=2\operatorname {arcsl} {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}x^{2}+1{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x=2\operatorname {arcsl} {\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}ax^{2}+bx+c{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x={\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} {\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a{\big (}ax^{2}+bx+c{\big )}}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}},\\&\int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}{\rm {d}}x=2\operatorname {arcsl} {\big (}\operatorname {th} {\tfrac {1}{2}}x{\big )},\\&\int {\sqrt {\sec x}}{\rm {d}}x=2\operatorname {arcsl} {\big (}\operatorname {tg} {\tfrac {1}{2}}x{\big )}.\end{aligned}}}$

Гіперболічні лемніскатні функції

Функції гіперболічний лемніскатний синус (червоні лінії) і гіперболічний лемніскатний косинус (пурпурові лінії) дійсного аргументу в порівнянні з тригонометричним тангенсом (шриховані блідо-червоні лінії).

Гіперболічну лемніскату синуса ${\displaystyle (\operatorname {slh} )}$ і косинуса ${\displaystyle (\operatorname {clh} )}$ можна визначити за допомогою їх обернених функцій наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}z=\int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1+t^{4}}}}.\end{aligned}}}$

Повний інтеграл набуває значення:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}{\rm {B}}{\big (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\big )}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi =1{,}85407\;46773\;01371\dots .\end{aligned}}}$

Тому дві визначені функції допускають наступне співвідношення:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} z=\operatorname {clh} {\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi -z{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Добуток гіперболічного лемніскатного синуса і гіперболічного лемніскатного косинуса дорівнює одиниці:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1.\end{aligned}}}$

Гіперболічні лемніскатні функції можуть бути представлені через лемніскатний синус і лемніскатний косинус:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}x{\bigr )}={\frac {{\big (}1+\operatorname {cl} ^{2}x{\big )}\operatorname {sl} x}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} x}},\\&\operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}x{\bigr )}={\frac {{\big (}1+\operatorname {sl} ^{2}x{\big )}\operatorname {cl} x}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} x}}.\end{aligned}}}$

Але також існує зв'язок із еліптичними функціямі Якобі з еліптичним модулем ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} x={\frac {\operatorname {sn} {\big (}x;1/{\sqrt {2}}{\big )}}{\operatorname {cd} {\big (}x;1/{\sqrt {2}}{\big )}}},\\\operatorname {clh} x={\frac {\operatorname {cd} {\big (}x;1/{\sqrt {2}}{\big )}}{\operatorname {sn} {\big (}x;1/{\sqrt {2}}{\big )}}}.\end{aligned}}}$

Гіперболічний лемніскатний синус допускає наступне уявне співвідношення із лемніскатним синусом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} z={\frac {1-{\rm {i}}}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+{\rm {i}}}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}.\end{aligned}}}$

Аналогічний зв'язок існує і між гіперболічним і тригонометричним синусом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinh} z=-{\rm {i}}\sin({\rm {i}}z)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}.\end{aligned}}}$

Відносно кривої Ферма четвертого порядку ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ гіперболічний лемніскатний синус є аналогогом тригонометричній функції тангенс.

Крива Ферма ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ (іноді називається квадратним колом^[en]) для гіперболічних лемніскатних синуса і косинуса є аналогом функцій тангенса й котангенса на одиничному колі ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ (квадратична крива Ферма). Якщо початок координат і точка на кривій пов'язані між собою прямою ${\displaystyle L}$, то гіперболічний лемніскатний синус від подвоєнної площі обмеженої цією прямою і віссю ${\displaystyle x}$ є ${\displaystyle y}$-координатою перетину прямої ${\displaystyle L}$ із прямою ${\displaystyle x=1}$.^[57]

Гіперболічний лемніскатний синус задовольняє тотожність додавання аргументів:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a{\sqrt {1+\operatorname {slh} ^{4}b}}+\operatorname {slh} b{\sqrt {1+\operatorname {slh} ^{4}a}}}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\operatorname {slh} ^{2}b}}.\end{aligned}}}$

Похідна може бути виражена наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\operatorname {slh} x={\sqrt {1+\operatorname {slh} ^{4}x}}.\end{aligned}}}$

Теорія чисел

В алгебричній теорії чисел, будь-яке скінченне абелеве розширення гаусових раціональних чисел^[en] ${\displaystyle {\rm {Q}}({\rm {i}})}$ є підполем поля ${\displaystyle {\rm {Q}}({\rm {i}},\operatorname {sl} (2\varpi /n))}$ для деякого натурального числа ${\displaystyle n}$.^[58][59] Це аналог теореми Кронекера-Вебера для раціональних чисел ${\displaystyle {\rm {Q}}}$, яка базується на поділі кола — зокрема, будь-яке скінченне абелеве розширення поля ${\displaystyle {\rm {Q}}}$ є підполем поля ${\displaystyle {\rm {Q}}(\exp(2\pi {\rm {i}}/n))}$ для деякого натурального числа ${\displaystyle n}$. Обидва випадки є частинними випадками проблеми Jugendtraum Кронекера, яка відома як дванадцята проблема Гільберта^[en].

Поле ${\displaystyle {\rm {Q}}({\rm {i}},\operatorname {sl} (\varpi /n))}$ (для додатних непарних ${\displaystyle n}$) є розширенням поля ${\displaystyle {\rm {Q}}({\rm {i}})}$ породженого за допомогою ${\displaystyle x}$- та ${\displaystyle y}$-координат точок ${\displaystyle (1+{\rm {i}})n}$-скруту на еліптичній кривій ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+x}$.^[60]

Проєкція карти світу

«Світ при квінкунціальній проєкції», Чарлз Сандерс Пірс (1879).

Квінкунціальна проєкція Пірса^[en], розроблена Чарльзом Сандерсом Пірсом із Національної геодезичної служби США^[en] в 1870-х роках, є проєкцією карти світу, що базується на оберненій лемніскаті синуса стереграфічно спроєктованих точок (що розглядаються як комплексні числа).^[61]

Якщо прямі постійної дійсної або уявної частини проєктувати на комплексну площину за допомогою гіперболічного лемніскатного синусу, а звідки їх стереографічно проєктувати на сферу (див. Сферу Рімана), то отримані криві є сферичними коніками^[en], сферичний аналог еліпсів і гіпербол на площині.^[62] Таким чином, лемніскати функцій (і, у загальному випадку, еліптичні функції Якобі) забезпечують параметризацію для сферичних конік.

Конформну картографічну проєкцію земної кулі на 6 квадратних граней куба також можна визначити за допомогою лемніскатних функцій.^[63] Оскільки багато диференціальних рівнянь з частинними похідними можна ефективно розв'язати за допомогою конформного відображення, то перетворення сфери в куб зручне для моделювання атмосфери^[en].^[64]

Див. також

• Еліптична функція
  • Еліптична функція Абеля
  • Еліптична функція Діксона^[en]
  • Еліптична функція Якобі
  • Еліптична функція Веєрштрасса
• Еліптична сума Гаусса^[en]
• Стала Гаусса
• Квінкунціальна проєкція Пірса^[en]
• Відображення Крістофеля-Шварца^[en]