Punkt przegięcia

Punkt przegięcia – wieloznaczne pojęcie matematyczne używane w analizie i geometrii, konkretniej analizie rzeczywistej i planimetrii. W obu tych działach punkty przegięcia są definiowane różnie i nierównoważnie:

• dla funkcji rzeczywistej o zmiennej rzeczywistej jest to pewien punkt w jej dziedzinie lub na wykresie. Zachodzi w nim zmiana wypukłości, tj. po jednej stronie przegięcia funkcja jest wypukła, a po drugiej – wklęsła^[1][2]. Ta definicja jest niejednoznaczna przez różne użycie nazw „wypukłość” i „wklęsłość”; oprócz tego bywa zawężana dodatkowymi warunkami na zachowanie funkcji w tym miejscu. Przy niektórych z tych zawężeń – oraz innych definicjach, nieodwołujących się do wypukłości – punkt przegięcia wykresu staje się szczególnym przypadkiem sensu geometrycznego:
• dla ogólnych krzywych płaskich punkt przegięcia to taki, w którym istnieje styczna i „przechodzi” ona z jednej strony krzywej na drugą^[3][4]. W sensie ścisłym i węższym^[5]: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną^[6]. Można to też formalizować przez zmianę znaku krzywizny^[7], choć wymaga to innych założeń o własnościach krzywej^{[potrzebny przypis]}.

Przykładowy wykres funkcji zawierającej punkt przegięcia (w); styczna w tym punkcie została zaznaczona na czerwono.

Oprócz tego znaczenia z pierwszej grupy mają swoje warunki wystarczające jak:

• ekstremum pierwszej pochodnej we wnętrzu dziedziny^[8],
• zmiana znaku drugiej pochodnej^[9][10],
• zmiana znaku pewnych wyrażeń z pierwszą lub drugą pochodną w przegięciu,
• zerowanie się pochodnych kolejnych rzędów między pierwszym a pewnym rzędem nieparzystym, dla którego wartość pochodnej jest niezerowa^[11][12]:

${\displaystyle \mathop {\exists } \limits _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\Big (}f^{(2k+1)}(x_{0})\neq 0\wedge \mathop {\forall } \limits _{n\in \mathbb {N} }1<n<2k+1\Rightarrow f^{(n)}(x_{0})=0{\Big )}.}$

Kryteria te istnieją dzięki twierdzeniom o różniczkowalnych funkcjach wypukłych i wklęsłych. Przy pewnym zawężeniu pojęć te warunki wystarczające stają się równoważnymi; bywają wręcz używane jako definicje^[11].

Pojęcie to wprowadził do matematyki prawdopodobnie Gilles de Roberval; posłużył się nim w 1636 roku, w liście do Pierre’a Fermata. O przegięciach pod innymi nazwami wspominali potem między innymi Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton^[13].

Przegięcia funkcji rzeczywistych

Wykres funkcji trzeciego stopnia ${\displaystyle y\!=\!x^{3}}$ (sześcianu), czasem nazywany parabolą sześcienną. Punktem przegięcia jest tu początek układu współrzędnych^[14] (0,0), z obu perspektyw^[a]: 1) dla argumentów ujemnych ${\displaystyle (x\!<\!0)}$ funkcja jest ściśle wklęsła, a dla dodatnich ${\displaystyle (x\!>\!0)}$ – ściśle wypukła; 2) styczną jest tu oś pozioma (Ox), normalną – oś pionowa (Oy), a cały wykres znajduje się w przeciwległych ćwiartkach układu (pierwszej i trzeciej).

Tangensoida – wykres funkcji tangens ${\displaystyle y\!=\!\operatorname {tg} x.}$ Jej miejsca zerowe to wielokrotności 90° lub pi ${\displaystyle (\pi )}$ radianów: ${\displaystyle x\!=\!k\pi .}$ Punkty te są zarazem przegięciami^[2]; prostych stycznych ani normalnych tu nie przedstawiono.

Wykres pierwiastka sześciennego ${\displaystyle y\!=\!{\sqrt[{3}]{x}}.}$ To przykład funkcji, która ma punkt przegięcia ${\displaystyle (x_{0}\!=\!0),}$ ale druga pochodna ${\displaystyle (y'')}$ się w nim nie zeruje i w dodatku nie istnieje. W tym miejscu nie ma nawet właściwej pierwszej pochodnej; dąży tam ona do nieskończoności: ${\displaystyle y'\!\rightarrow \!+\infty }$ przy ${\displaystyle x\!\rightarrow \!0.}$

Wykres funkcji wymiernej ${\displaystyle y=1/x}$ – przykład hiperboli. Początek układu współrzędnych (0,0) rozdziela tu przedział ścisłej wklęsłości ${\displaystyle (x\!<\!0)}$ od przedziału ścisłej wypukłości ${\displaystyle (x\!>\!0).}$ Mimo to punkt ${\displaystyle x\!=\!0}$ zwykle nie jest uznawany za przegięcie – jako liczba spoza dziedziny tej funkcji^[14].

Szeroka definicja przez wypukłość

Niech ${\displaystyle f}$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych: ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ gdzie ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {R} .}$ Wtedy mówi się, że ${\displaystyle f}$ ma punkt przegięcia w ${\displaystyle x=x_{0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnym otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{0}}$ jest po jednej z jego stron ściśle wypukła, a po drugiej – ściśle wklęsła^[14]. Formalnie oznacza to, że istnieje liczba ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+},}$ dla której funkcja ${\displaystyle f{:}}$

a) jest ściśle wklęsła na przedziale ${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0})}$ i ściśle wypukła na przedziale ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+r);}$

b) odwrotnie – jest ona ściśle wypukła na ${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0})}$ i ściśle wklęsła na ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+r).}$

Wypukłość i wklęsłość są definiowane różnie – i nierównoważnie – przez różnych autorów. W ogólności funkcja ${\displaystyle f{:}}$

• jest ściśle wklęsła na przedziale ${\displaystyle [u,v]\subseteq X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na przedziale ${\displaystyle (u,v)}$ i:

${\displaystyle \forall {u\leqslant a<b<c\leqslant v}:{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}>{\frac {f(c)-f(b)}{c-b}}}$

lub (równoważna definicja^{[potrzebny przypis]}):

${\displaystyle \forall {u\leqslant a<b\leqslant v}:f\left({\frac {a+b}{2}}\right)>{\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

• Podobnie funkcja jest ściśle wypukła na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na tym przedziale i:

${\displaystyle \forall {u\leqslant a<b<c\leqslant v}:{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}<{\frac {f(c)-f(b)}{c-b}}}$

lub (równoważna definicja):

${\displaystyle \forall {u\leqslant a<b\leqslant v}:f\left({\frac {a+b}{2}}\right)<{\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

Inne definicje

Wśród funkcji nieróżniczkowalnych istnieją takie, które w punkcie nieróżniczkowalności mają styczną pionową (tu ${\displaystyle x\!=\!0).}$ Takie funkcje mogą ją przecinać, nie zmieniając przy tym wypukłości – przez co punkty te nie są zaliczane do przegięć^[5]. Wykresy takich funkcji nie spełniają też ścisłej geometrycznej definicji przegięcia, opartej na kątach wierzchołkowych między styczną a normalną.

Niektórzy matematycy definiują punkty przegięcia funkcji przez wypukłość i wklęsłość w sąsiedztwie, ale określone inaczej – za pomocą stycznych^[1][15]. Wymaga to wzmocnienia założenia ciągłości o różniczkowalność^[16]. Zdarza się też dodatkowy wymóg, by w tym sąsiedztwie przegięcia istniała także druga pochodna i to ciągła^[17]; takie funkcje bywają nazywane klasą ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$.

Nierzadko zakłada się też dodatkowe własności funkcji ${\displaystyle f}$ w samym punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ jak:

• określoność w tym punkcie^[14] (przyjmowanie w nim jakiejś wartości: ${\displaystyle x_{0}\in X}$);
• ciągłość^[b]: ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}};}$
• istnienie w nim pochodnych jednostronnych ${\displaystyle (f'_{\pm })}$ spełniających pewne nierówności^[2];
• istnienie w nim stycznej^[18], czyli spełnianie jednego z dwóch warunków^[19]:
  • istnienie pochodnej właściwej lub niewłaściwej (tj. nieskończonej)^[20]: ${\displaystyle f'(x_{0})\in {\overline {\mathbb {R} }};}$
  • istnienie jednostronnych pochodnych niewłaściwych: ${\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})\in \{\pm \infty \};}$
• różniczkowalność^[16] – istnienie pochodnej właściwej (tj. skończonej): ${\displaystyle f'(x_{0})\in \mathbb {R}$ ;}
• istnienie drugiej pochodnej (podwójna różniczkowalność) i jej ciągłość^[17][21]: ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}.}$

Czasem przegięcie funkcji jest definiowane bez wypukłości ani wklęsłości. Niektórzy odwołują się do własności związanych ze styczną w tym punkcie ${\displaystyle (x_{0}){:}}$

• nieformalnie przegięcie to punkt przecinania stycznej^[21]. To znaczenie obejmuje też funkcje bez zmiany wypukłości, w dodatku z wykresem po jednej stronie prostej normalnej – wbrew ogólnej definicji przegięcia krzywej płaskiej. Tak się może dziać w wypadku stycznych pionowych^[5].
• Wykluczenie stycznych pionowych oznacza, że w przegięciu istnieje pochodna skończona ${\displaystyle (f'(x_{0})\in \mathbb {R} ).}$ Wtedy przebijanie stycznej to formalnie zmiana znaku funkcji ${\displaystyle f-s,}$ gdzie ${\displaystyle s(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$ to funkcja opisująca styczną w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$^[c][20]. Ta definicja również bywa zawężana^[d]. Wszystkie takie przegięcia są zgodne z definicją geometryczną (dla ogólnej krzywej płaskiej); mimo to mogą one nie zmieniać wypukłości funkcji, co opisano dalej.

Zdarza się jeszcze inna definicja – pozwalająca rozstrzygnąć, czy punkt jest przegięciem, za pomocą samych pochodnych w tym punkcie. Wymaga to co najmniej trzykrotnej różniczkowalności (istnienia ${\displaystyle f'''(x_{0})}$)^[11].

Przykłady nierównoważności

Powyższe definicje nie są sobie równoważne – istnieją funkcje z punktami spełniającymi tylko niektóre z nich. Są przypadki zmiany wypukłości, w których^{[potrzebny przypis]}:

• druga pochodna jest nieciągła;
• nie ma drugiej pochodnej – por. funkcja ${\displaystyle u(x):=x|x|.}$ W punkcie ${\displaystyle x=0}$ istnieje przegięcie, bo pierwsza pochodna ${\displaystyle u'(x)=2|x|}$ ma tam swoje minimum. Mimo to drugie pochodne jednostronne są tam różne ${\displaystyle (u''_{-}\neq u''_{+}),}$ więc obustronna druga pochodna nie istnieje;
• nie ma pierwszej pochodnej właściwej (skończonej) – por. pierwiastek kubiczny (sześcienny);
• nie ma nawet niewłaściwej pierwszej pochodnej;
• nie ma stycznej^[22];
• nie ma ciągłości;
• nie ma wartości w tym punkcie; por. ${\displaystyle v(x):=1/x.}$

Istnieją też funkcje z punktami spełniającymi „geometryczną” definicję przegięcia (przez styczną), ale bez zmiany wypukłości w tym punkcie^[20][2]:

${\displaystyle g(x):={\begin{cases}-x^{2}(2+\sin {\frac {1}{x}})&{\text{dla }}x<0,\\0&{\text{dla }}x=0,\\x^{2}(2+\sin {\frac {1}{x}})&{\text{dla }}x>0.\end{cases}}}$

Ta funkcja jest różniczkowalna w zerze ${\displaystyle (g'(0)=0),}$ ale jej pochodna jest tam nieciągła i nawet nie ma granic jednostronnych^[23]. Warunek ciągłości pochodnej ${\displaystyle (f\in {\mathcal {C}}^{1})}$ nie usuwa jednak takich przypadków. Nie robi tego nawet postulat dwukrotnej różniczkowalności z ciągłą drugą pochodną ${\displaystyle (f\in {\mathcal {C}}^{2}).}$ Istnieją funkcje tej klasy, które również przecinają swoją styczną bez zmiany wypukłości w tym punkcie^[24]:

${\displaystyle k(x):={\begin{cases}x^{5}(1+\sin ^{2}{\frac {1}{x}})&{\text{dla }}x\neq 0,\\0&{\text{dla }}x=0.\end{cases}}}$

Warunki konieczne i wystarczające

Wykres czwartej potęgi: ${\displaystyle y\!=\!x^{4}.}$ To przykład funkcji, która w pewnym punkcie ${\displaystyle (x\!=\!0)}$ ma zerową drugą pochodną, ale nie ma tam przegięcia^[21]. Druga pochodna ${\displaystyle (y''\!=\!12x^{2})}$ nie zmienia tam znaku – po obu stronach jest dodatnia – a pierwsza pochodna ${\displaystyle (y'\!=\!4x^{3})}$ nie ma tam ekstremum. Czwarta potęga jest ściśle wypukła w całej dziedzinie^[2], a w zerze ma minimum.

Wykres wielomianu czwartego stopnia: ${\displaystyle y=x^{4}\!-\!x.}$ To przykład funkcji, której druga pochodna ${\displaystyle (y''\!=\!12x^{2})}$ zeruje się w punkcie niebędącym ani przegięciem, ani ekstremum^{[potrzebny przypis]}.

W przegięciach druga pochodna w ogólności nie musi istnieć, ale może przyjmować tylko zerową wartość ${\displaystyle (f''(x_{0})=0)}$^[3][4]. Ten warunek konieczny nie jest jednak warunkiem wystarczającym:

• jeśli obie pochodne (pierwsza i druga) się zerują, to punkt może nie być przegięciem, lecz ekstremum^[25] – por. ${\displaystyle y=x^{4};}$
• jeśli druga pochodna się zeruje, a pierwsza nie, to punkt nie jest ekstremum, ale nie musi też być przegięciem; por. jedna z dalszych ilustracji.

Dla różnych klas funkcji można wskazać różne warunki wystarczające przegięcia:

• Jeśli funkcja ma obustronną pochodną w pewnym otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{0},}$ wówczas warunkiem wystarczającym jest właściwe ekstremum lokalne pierwszej pochodnej w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$ Ten warunek nie jest w ogólności konieczny – w sąsiedztwie przegięcia pochodna może w ogóle nie istnieć^[26]. Mimo to, tak jak napisano wyżej, czasem zakłada się różniczkowalność badanej funkcji w całym przedziale – wprost lub przez definiowanie wypukłości za pomocą stycznych.
• Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia jest też istnienie drugiej pochodnej funkcji równej zeru w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ oraz zmiana jej znaku w tym punkcie^[4].
• Dla funkcji trzykrotnie różniczkowalnej warunkiem wystarczającym jest: ${\displaystyle f''(x_{0})=0\wedge f'''(x_{0})\neq 0.}$ W ogólności: jeśli w jakimś punkcie pierwsza nieznikająca (różna od zera) pochodna jest rzędu nieparzystego większego niż dwa, to jest tam przegięcie^[27].

Rola przegięć

Poszukiwanie przegięć to jeden z klasycznych elementów badania przebiegu zmienności funkcji rzeczywistych^[14] ${\displaystyle (f\colon X\rightarrow \mathbb {R} ,X\subseteq \mathbb {R} ).}$ Punkty te mogą się pojawić w analizie pochodnych, począwszy od pierwszej – mogą się znaleźć wśród punktów krytycznych badanej funkcji ${\displaystyle (f).}$ Przegięcia – tak jak lokalne ekstrema – mogą występować zarówno wśród:

• punktów nieróżniczkowalności (braku pochodnej)^[14]; przy czym taki punkt może być jednocześnie i ekstremum, i przegięciem^[22];
• punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pierwszej pochodnej ${\displaystyle (f'(x_{s})=0).}$ Takie punkty stacjonarne bez ekstremum w przypadku jednowymiarowym mogą należeć do przegięć. Bywają nazywane punktami siodłowymi^[28], przy czym te ostatnie są też definiowane inaczej – geometrycznie, jako punkty zerowej krzywizny^[29]. Wtedy punkty siodłowe nie są szczególnym przypadkiem różniczkowalnych przegięć, lecz ich uogólnieniem na wiele wymiarów.

W ogólności przegięcie wykresu nie ma ścisłego związku z pierwszą pochodną. Jeśli w takich punktach ona istnieje, to może mieć dowolny znak i być nieskończona (niewłaściwa), co ilustrują wykresy obok. Przegięcia są bliżej związane z dalszymi pochodnymi – przez różne warunki konieczne lub wystarczające, opisane wyżej.

Przegięcia wielomianów

Wielomian n-tego stopnia ${\displaystyle (n\geqslant 2)}$ ma co najwyżej ${\displaystyle n-2}$ punktów przegięcia^{[potrzebny przypis]}. Wynika to z połączenia trzech faktów:

• podwójna różniczkowalność wielomianów, dająca też ciągłą drugą pochodną (klasa ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$); przegięcia takich funkcji muszą spełniać warunek konieczny, jakim jest zerowanie się drugiej pochodnej ${\displaystyle (f''(x_{0})=0);}$
• wzór na pochodną wielomianu – dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ pochodna zmniejsza stopień wielomianu o jeden. Przez to druga pochodna ma stopień niższy o dwa ${\displaystyle (\deg f''=\deg f-2);}$
• zasadnicze twierdzenie algebry mówi między innymi, że liczba pierwiastków rzeczywistych wielomianu rzeczywistego nie przekracza jego stopnia; tutaj liczba pierwiastków drugiej pochodnej nie przekracza ${\displaystyle n-2.}$

W szczególności funkcje kwadratowe – dla których ${\displaystyle n=2}$ – nie mają przegięć. Dotyczy to także wielomianów stopnia niższego niż dwa, czasem zwanych funkcjami liniowymi^{[potrzebny przypis]}.

Uogólnienie na inne krzywe płaskie

Pojęcie punktu przegięcia może też zostać uogólnione na krzywe płaskie niebędące wykresami funkcji, zwłaszcza na krzywe z punktami regularnymi, tj. o unikalnej stycznej. Tak jak wspomniano, tutaj również występują różne konwencje:

• nieformalnie – w punkcie przegięcia krzywa przechodzi z jednej strony stycznej na drugą^[30];

• w sensie ścisłym i węższym^[5]: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną^[6];

• inna ścisła definicja mówi o rozdzielaniu punktów o krzywiźnie dodatniej i ujemnej^[7], co wymaga zerowania się krzywizny w tym punkcie^[31]. Tak rozumiane przegięcie jest szczególnym, jednowymiarowym przypadkiem punktu siodłowego lub – przy innych definicjach – jego odpowiednikiem.

W miarę zbliżania się do punktu przegięcia promień krzywizny wykresu funkcji dwukrotnie różniczkowalnej rośnie do nieskończoności. Mówi się skrótowo, że jest on w punkcie przegięcia nieskończony. Oznacza to, że w otoczeniu punktu przegięcia krzywa (w szczególności np. wykres funkcji) jest lepiej przybliżana linią prostą niż łukiem okręgu^{[potrzebny przypis]}.

Zobacz też

• funkcja monotoniczna

Uwagi

1. W analizie czasem przyjmuje się, że przegięciem jest tu współrzędna odcięta tego punktu, czyli argument ${\displaystyle x=0.}$
2. Taką definicję sugeruje Fichtenholz 1999 ↓, s. 264–266. Pisze wprost, że w punkcie przegięcia może nie być stycznej, co oznacza brak wymogu pochodnej, nawet niewłaściwej. Zarazem definiuje przegięcie jako punkt nie w dziedzinie, ale na krzywej, a krzywa bywa definiowana jako ciągły obraz przedziału liczbowego.
3. ${\displaystyle s}$ to wielomian stopnia co najwyżej pierwszego, czasem zwany funkcją liniową.
4. Różnica ${\displaystyle f-s}$ może być zapisana inaczej. Jeśli ${\displaystyle h:=x-x_{0},}$ to:

   ${\displaystyle (f-s)(x)=f(x)-f(x_{0})-f'(x_{0})(x-x_{0})=f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'(x_{0})h;}$

   por. Banach 1957 ↓, s. 175. Oprócz tego jeśli istnieje druga pochodna funkcji ${\displaystyle f}$ i jest ciągła ${\displaystyle (f\in {\mathcal {C}}^{2}),}$ to twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej pozwala to zapisać jako:

   ${\displaystyle (f-s)(x)={\frac {1}{2}}h^{2}f''(x_{0}+\theta h)}$ dla pewnego ${\displaystyle \theta \in (0,1).}$

   Przegięcie, wypukłość i wklęsłość bywają definiowane właśnie przez zachowanie znaku tego wyrażenia; por. Leja 1963 ↓, s. 93.