中心つき多角数

中心つき多角数（ちゅうしんつきたかくすう、英: centered polygonal number）とは、正多角形の形に点を中心から順に並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる自然数である。

主な中心つき多角数は以下の通りである。

• 中心つき三角数：1, 4, 10, 19, 31, …（オンライン整数列大辞典の数列 A005448）
• 中心つき四角数：1, 5, 13, 25, 41, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001844）
• 中心つき五角数：1, 6, 16, 31, 51, …（オンライン整数列大辞典の数列 A005891）
• 中心つき六角数：1, 7, 19, 37, 61, …（オンライン整数列大辞典の数列 A003215）
• 中心つき七角数：1, 8, 22, 43, 71, …（オンライン整数列大辞典の数列 A069099）
• 中心つき八角数：1, 9, 25, 49, 81, …（オンライン整数列大辞典の数列 A016754）
• 中心つき九角数：1, 10, 28, 55, 91, …（オンライン整数列大辞典の数列 A060544）
• 中心つき十角数：1, 11, 31, 61, 101, …（オンライン整数列大辞典の数列 A062786）

また、中心つき九角数は 6 以外の完全数を含み、中心つき八角数は奇数番目の平方数であり、中心つき十二角数は六芒星数と一致する。

例

中心つき四角数、中心つき六角数の例を以下に示す。

中心つき四角数

1		5		13		25

中心つき六角数

1		7		19		37

一般化

1 番目の中心つき k 角数を 1 とするとき、n 番目の中心つき k 角数 C_k,n は以下の式で表される。

${\displaystyle C_{k,n}={\dfrac {kn(n-1)}{2}}+1}$

また、n 番目の三角数 T_n を用いると

${\displaystyle C_{k,n}=kT_{n-1}+1}$

となり、漸化式では次の通りとなる。

${\displaystyle C_{k,1}=1,C_{k,n+1}=C_{k,n}+kn}$

数表

名前 ＼ n	一般式	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	OEIS
中心つき三角数	${\displaystyle {\dfrac {3n^{2}-3n+2}{2}}}$	1	4	10	19	31	46	64	85	109	136	166	199	235	A005448
中心つき四角数	${\displaystyle 2n^{2}-2n+1}$	1	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	A001844
中心つき五角数	${\displaystyle {\frac {5n^{2}-5n+2}{2}}}$	1	6	16	31	51	76	106	141	181	226	276	331	391	A005891
中心つき六角数	${\displaystyle 3n^{2}-3n+1.\,}$	1	7	19	37	61	91	127	169	217	271	331	397	469	A003215
中心つき七角数	${\displaystyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2}}}$	1	8	22	43	71	106	148	197	253	316	386	463	547	A069099
中心つき八角数	${\displaystyle 4n^{2}-4n+1}$	1	9	25	49	81	121	169	225	289	361	441	529	625	A016754
中心つき九角数	${\displaystyle {\dfrac {(3n-2)(3n-1)}{2}}}$	1	10	28	55	91	136	190	253	325	406	496	595	703	A060544
中心つき十角数	${\displaystyle 5n^{2}-5n+1}$	1	11	31	61	101	151	211	281	361	451	551	661	781	A062786
中心つき十一角数	${\displaystyle {\frac {11n^{2}-11n+2}{2}}}$	1	12	34	67	111	166	232	309	397	496	606	727	859	A069125
中心つき十二角数	${\displaystyle 6n^{2}-6n+1}$	1	13	37	73	121	181	253	337	433	541	661	793	937	A003154
中心つき十三角数	${\displaystyle {\frac {13n^{2}-13n+2}{2}}}$	1	14	40	79	131	196	274	365	469	586	716	859	1015	A069126
中心つき十四角数	${\displaystyle 7n^{2}-7n+1}$	1	15	43	85	141	211	295	393	505	631	771	925	1093	A069127
中心つき十五角数	${\displaystyle {\frac {15n^{2}-15n+2}{2}}}$	1	16	46	91	151	226	316	421	541	676	826	991	1171	A069128
中心つき十六角数	${\displaystyle 8n^{2}-8n+1}$	1	17	49	97	161	241	337	449	577	721	881	1057	1249	A069129
中心つき十七角数	${\displaystyle {\frac {17n^{2}-17n+2}{2}}}$	1	18	52	103	171	256	358	477	613	766	936	1123	1327	A069130
中心つき十八角数	${\displaystyle 9n^{2}-9n+1}$	1	19	55	109	181	271	379	505	649	811	991	1189	1405	A069131
中心つき十九角数	${\displaystyle {\frac {19n^{2}-19n+2}{2}}}$	1	20	58	115	191	286	400	533	685	856	1046	1255	1483	A069132
中心つき二十角数	${\displaystyle 10n^{2}-10n+1}$	1	21	61	121	201	301	421	561	721	901	1101	1321	1561	A069133
中心つき二十一角数	${\displaystyle {\frac {21n^{2}-21n+2}{2}}}$	1	22	64	127	211	316	442	589	757	946	1156	1387	1639	A069178
中心つき二十二角数	${\displaystyle 11n^{2}-11n+1}$	1	23	67	133	221	331	463	617	793	991	1211	1453	1717	A069173
中心つき二十三角数	${\displaystyle {\frac {23n^{2}-23n+2}{2}}}$	1	24	70	139	231	346	484	645	829	1036	1266	1519	1795	A069174
中心つき二十四角数	${\displaystyle 12n^{2}-12n+1}$	1	25	73	145	241	361	505	673	865	1081	1321	1585	1873	A069190

関連項目

• 図形数
• 正多角形
• 多角数
• 六芒星数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Centered Polygonal Number”. mathworld.wolfram.com (英語).