For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Funkcio φ.

Funkcio φ

El Vikipedio, la libera enciklopedio

Matematikaj funkcioj
Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζη • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco
La unuaj mil valoroj de φ(n)
La unuaj mil valoroj de φ(n)

En nombroteorio, la eŭlera φ-funkcio φ(n) de pozitiva entjero n estas difinita kiel kvanto de pozitivaj entjeroj malpli grandaj ol aŭ egala al n , kiuj estas interprimoj al n. Ekzemple, φ(9)=6 pro tio, ke la ses nombroj 1, 2, 4, 5, 7 kaj 8 estas interprimoj al 9.

La funkcio estas nomita pro svisa matematikisto Leonhard Euler, kiu studis ĝin.

La eŭlera kuna φ-funkcio de n estas difinita kiel n-φ(n), la kvanto de pozitivaj entjeroj malpli grandaj ol aŭ egala al n , kiu estas ne interprimoj al n.

La φ funkcio estas grava ĉefe, ĉar ĝi donas la amplekson de la multiplika grupo de entjeroj module n. φ(n) estas ordo de grupo de unuoj de ringo . Ĉi tiu fakto, kaj ankaŭ teoremo de Lagrange koncerne al grupa teorio provizas pruvon de la eŭlera teoremo.

Komputado de φ funkcio

φ(1)=1
φ(pk)=(p-1)p(k-1) por prima p

φ estas multiplika funkcio, ĉi tio estas, ke se m kaj n estas interprimoj do φ(mn) = φ(m)φ(n).

La valoro de φ(n) povas tial esti komputita per la fundamenta teoremo de aritmetiko: se

,

kie pj estas diversaj primoj, do

Ĉi tiu la lasta formulo estas la eŭlera produto kaj estas ofte skribata kiel

kun la produto ruliganta nur tra diversaj primoj p dividantaj na n.

Ekzemplo:

La diversaj primaj faktoroj de 36 estas 2 kaj 3; duono de entjeroj inter 1 kaj 36 estas dividebla per 2, restas 18; triono de tiuj estas dividebla per 3, restas 12 interprimaj al 36. Ili estas 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35.

Iuj valoroj de la funkcio

Valoroj de la funkcio φ por :

φ(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+ 1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Proprecoj

Per inversiga formulo de Möbius eblas inversigi la sumon kaj ricevi la alian formulon por φ(n):

,

kie μ estas la kutima funkcio de Möbius difinita sur la pozitivaj entjeroj.

Laŭ eŭlera teoremo, se a estas interprimo al n (alivorte PGKD(a,n)=1), do

Ĉi tio sekvas de teoremo de Lagrange kaj tio, ke a apartenas al la multiplika grupo de , se kaj nur se a estas interprimo al n.

Generante funkcioj

La du sekvaj generantaj funkcioj aperas pro tio, ke

Serio de Dirichlet kun φ(n) estas

,

kie ζ(s) estas la rimana ζ funkcio. Ĉi tio estas montrata sekve:

La serio de Lambert estas

,

kiu konverĝas por |q|<1.

Ĉi tiu sekvas de

,

kio estas

Kreskado de la funkcio

La kreskado de φ(n) kiel funkcio de n estas interesa demando. Por malgrandaj n φ(n) estas signife pli malgranda ol n, Sed por grandaj n ĉi tio ne veras. Asimptote estas

por ĉiu donita ε > 0 kaj n > N(ε).

Se konsideri funkcion φ(n)/n do de la formulo pli supre

kun la produto ruliganta nur tra diversaj primoj p dividantaj na n.

Pro tio la valoroj de n respektivaj al malgrandaj valoroj de la rilatumo estas tiuj, kiuj estas produtoj de komenca segmento de vico de ĉiuj primoj. De la prima teoremo ĝi povas esti montrite, ke konstanto ε en la formulo pli supre povas pro tio esti anstataŭigita per

φ(n) estas ĝenerale proksime al n en averaĝa senco:

,

kie O estas la granda O. Ĉi tiu ankaŭ diras, ke la probablo de du pozitiva entjeroj elektitaj hazarde de {1, 2, ..., n} al esti interprimoj estas proksimume , kiam n strebas al malfinio. Rilatanta rezulto estas la averaĝa ordo de φ(n)/n , kiu estas

Aliaj formuloj kun la funkcio

,

kie m > 1 estas pozitiva entjero, kaj ω(m) estas kvanto de diversaj primaj faktoroj de m. (Ĉi tiuj formulaj kalkulas kvanton de pozitivaj entjeroj malpli grandaj ol aŭ egala al n kaj interprimaj al m.)

Neegalaĵoj

Iuj neegalaĵoj kun la φ(n) estas:

por n>2, kie γ estas eŭlera konstanto,

por n > 0,

kaj

Por primo n, φ(n)=n-1. Por komponigita n:

Por ĉiu n > 1:

Por hazarda granda n, ĉi tiuj baroj ankoraŭ ne povas esti plibonigitaj, aŭ pli precize:

Neegalaĵoj kun la φ(n) kaj la dividanta funkcio σ:

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Funkcio φ
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.