Funkcio zeta de Riemann

Funkcio zeta de Riemann aŭ Funkcio zeta de Euler kaj Riemann aŭ Rimana ζ funkcio (skribite per greka litero ζ) aŭ Rimana funkcio zeto estas unu el specialaj funkcioj, nomita laŭ Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

${\displaystyle {\zeta }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{z}}$

Ĉi tiu artikolo temas pri unu el pluraj funkcioj nomitaj "zeta" (ankaŭ skribite per greka litero "ζ"). Koncerne aliajn signifojn aliru la apartigilon Funkcio ζ (apartigilo).

Matematikaj funkcioj
Aroj: fonta aro, argumentaro, bildaro, cela aro (suma klarigo) • malbildo
Fundamentaj funkcioj
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca
Specialaj funkcioj
Gaŭsa • Gaŭsa de eraro • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ
Ecoj:
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco

Serio estas konverĝa por valoroj de z, kies reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Ecoj

Por nombroj ${\displaystyle z}$ kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

${\displaystyle {\zeta }(z)=2^{z}\pi ^{1/z}\Gamma (1-z){\zeta }(1-z)}$

kaj ${\displaystyle \Gamma }$ estas funkcio Γ de Euler.

Diagramo de ζ(x)

Kelkaj valoroj

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}$

La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto

Ojler montris ke

${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{{\text{prima }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{z}}}\right)^{-1}=\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)^{-1}\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)^{-1}\left(1-{\frac {1}{5^{z}}}\right)^{-1}\ldots }$

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu ${\displaystyle z}$ kies reela parto estas pli ol ${\displaystyle 1}$.

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

${\displaystyle \zeta (z)=1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}\ldots }$ ${\displaystyle \implies \zeta (z){\frac {1}{2^{z}}}={\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+{\frac {1}{6^{z}}}\ldots }$

Per subtraho, oni trovas

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{5^{z}}}\ldots }$

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right){\frac {1}{3^{z}}}={\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{9^{z}}}+{\frac {1}{15^{z}}}+\ldots }$

Alia subtraho vidigas ke

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{5^{z}}}+{\frac {1}{7^{z}}}+\ldots }$

Ĉiu nombro dividebla per ${\displaystyle 3}$ estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per ${\displaystyle 3}$. Simile,

${\displaystyle \zeta (z)\left(1-{\frac {1}{2^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{z}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{z}}}\right)=1+{\frac {1}{7^{z}}}+{\frac {1}{11^{z}}}+\ldots }$

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per ${\displaystyle 2,3}$ aŭ ${\displaystyle 5}$ (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto ${\displaystyle \zeta (z)\prod _{{\text{prima }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{z}}}\right)}$, kaj la dekstra nombra konverĝas al ${\displaystyle 1}$. Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu difinas ${\displaystyle \zeta }$ konverĝas absolute, se la reala parto de ${\displaystyle z}$ estas pli ol ${\displaystyle 1}$. Tio permesas montri que la dekstra limito estas ${\displaystyle 1}$.

Vidu ankaŭ

• ZetaGrid

• Kategorio Funkcio zeta de Riemann en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

Ĉi tiu artikolo ankoraŭ estas ĝermo. Helpu al Vikipedio plilongigi ĝin. Se jam ekzistas alilingva samtema artikolo pli disvolvita, traduku kaj aldonu el ĝi (menciante la fonton). Bonvolu aldoni parametron por plibone kategoriigi la paĝon.