Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Октаедр (грец. οκτάεδρον, від грец. οκτώ, «вісім» і грец. έδρα — «основа») — многогранник з вісьма гранями. Правильний октаедр є одним з п'яти опуклих правильних многогранників[1], так званих платонових тіл; грані правильного октаедра — вісім правильних трикутників.
Октаедр | |
---|---|
Тип | Правильний многогранник |
Грань | трикутник |
Граней | |
Ребер | |
Вершин | |
Граней при вершині | |
Тілесний кут при вершині |
ср |
Точкова група симетрії |
Октаедрична (Oh) |
Двоїстий многогранник | Куб |
Правильний октаедр є двоїстим до куба. Він є повним зрізанням тетраедра. Правильний октаедр є квадратною біпірамідою в кожному з трьох ортогональних напрямків. Він також є трикутною антипризмою в кожному з чотирьох напрямків.
Октаедр — тривимірний варіант більш загального поняття гіпероктаедр.
Правильний октаедр є тривимірною кулею в манхеттенській метриці.
Правильний октаедр має 8 трикутних граней, 12 ребер, 6 вершин, в кожній його вершині сходяться 4 ребра.
Якщо довжина ребра октаедра дорівнює а, то радіус сфери, описаної навколо октаедра (яка торкається всіх кутів), дорівнює:
радіус вписаної в октаедр сфери (яка торкається всіх граней) можна обчислити за формулою:
двогранний кут: , де .
Радіус напіввписаної сфери (яка торкається всіх ребер) дорівнює
Октаедр має чотири спеціальні ортогональні проєкції, центровані ребром, вершиною, гранню і нормаллю до грані. Другий і третій випадок відповідають площинам Коксетера B2 і A2.
Октаедр можна представити, як сферичну мозаїку і спроєктувати на площину за допомогою стереографічної проєкції. Ця проєкція конформна, зберігає кути, але не довжини і площу. Відрізки на сфері віддзеркалюються в дуги кіл на площині.
трикутно-центрована | |
Ортогональна проєкція | Стереографічна проєкція |
---|
Октаедр з довжиною ребра можна помістити в початок координат, так що його вершини лежатимуть на осях координат. Декартові координати вершин тоді будуть: (±1, 0, 0);
У x-y-z прямокутній системі координат октаедр з центром з точці (a, b, c) і радіусом r — це множина всіх точок (x, y, z), таких, що
Площа повної поверхні правильного октаедра з довжиною ребра a дорівнює
Об'єм октаедра (V) обчислюється за формулою:
Таким чином, об'єм октаедра в чотири рази більший за об'єм тетраедра з тією ж довжиною ребра, тоді як площа поверхні вдвічі більша (оскільки поверхня складається з 8 трикутників, а у тетраедра — з чотирьох).
Якщо октаедр розтягнути, щоб виконувалася рівність:
то формули для поверхні та об'єму перетворюються на:
Крім того, тензор моментів інерції розтягнутого октаедра дорівнюватиме:
Він зводиться до формули для правильного октаедра, коли:
Внутрішня (спільна) частина конфігурації з двох тетраедрів є октаедром, а сама ця конфігурація називається зірчастим октаедром (лат. stella octangula). Конфігурація є єдиною зірчастою формою октаедра. Відповідно, правильний октаедр є результатом відсікання від правильного тетраедра чотирьох правильних тетраедрів з половиною довжини ребра (тобто повного зрізання тетраедра). Вершини октаедра лежать на серединах ребер тетраедра і октаедр пов'язаний з тетраедром так само, як кубооктаедр та ікосододекаедр пов'язані з іншими платоновими тілами. Можна розділити ребра октаедра у відношенні золотого перетину для визначення вершин ікосаедра. Для цього слід розташувати вектори на ребрах, так, щоб всі грані були оточені циклами. Потім ділимо кожне ребро в золотому відношенні вздовж векторів. Отримані точки є вершинами ікосаедра.
Октаедри і тетраедри[en] можна чергувати, щоб побудувати однорідні відносно вершин, ребер і граней стільники, які Фуллер назвав октетною зв'язкою[en]. Це єдина така мозаїка за винятком утвореної кубами, і вона є одним з 28 видів опуклих однорідних стільників[en].
Октаедр унікальний серед платонових тіл у тому, що тільки він має парне число граней при кожній вершині. Таким чином, це єдиний член групи, який має площини симетрії, що не перетинають жодну грань.
Якщо використовувати стандартну термінологію многогранників Джонсона, то октаедр можна назвати квадратною біпірамідою. Зрізання двох протилежних вершин призводить до зрізаної біпіраміди[en].
Октаедр є 4-зв'язним. Це означає, що потрібно вилучити чотири вершини, щоб роз'єднати ті, що залишилися. Це один з чотирьох 4-зв'язних симпліційних добре покритих многогранників, що означає, що всі найбільші незалежні множини вершин мають один і той самий розмір. Інші три многогранники з цією властивістю — п'ятикутна біпіраміда, кирпатий двоклиноїд і нерегулярний многогранник з 12 вершинами і 20 трикутними гранями[2].
Існує 3 однорідні розфарбовування октаедра, названі за їхніми кольорами граней: 1212, 1112, 1111.
Групою симетрії октаедра є Oh з порядком 48, тривимірна гіпероктаедрична група[en]. У підгрупи цієї групи входять D3d (порядку 12), група симетрії трикутної антипризми, D4h (порядку 16), група симетрії квадратної біпіраміди, і Td (порядку 24), група симетрії повністю зрізаного тетраедра. Ці симетрії можна підкреслити шляхом різного розфарбовування граней.
Назва | Октаедр | Повністю зрізаний тетраедр |
Трикутна антипризма | Квадратна біпіраміда | Ромбічна біпіраміда |
---|---|---|---|---|---|
Рисунок (розфарбування граней) |
(1111) |
(1212) |
(1112) |
(1111) |
(1111) |
Діаграма Коксетера | = | ||||
Символ Шлефлі | {3,4} | r{3,3} | s{2,6} sr{2,3} |
ft{2,4} { } + {4} |
ftr{2,2} { } + { } + { } |
Символ Візоффа[en] | 3 2 | 4 3 | 6 2 |
2 3 2 | |
Симетрія | Oh, [4,3], (*432) | Td, [3,3], (*332) | D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322) |
D4h, [2,4], (*422) | D2h, [2,2], (*222) |
Порядок | 48 | 24 | 12 6 |
16 | 8 |
Однорідний тетрагемігексаедр є огранюванням з тетраедричною симетрією правильного октаедра, який зберігає розташування ребер і вершин многогранника. Огранювання має чотири трикутні грані і 3 центральні квадрати.
Октаедр |
Такі многогранники комбінаторно еквівалентні правильному октаедру. Вони всі мають шість вершин, вісім трикутних граней і дванадцять ребер, що відповідає один до одного параметрам правильного октаедра.
У загальному випадку, октаедром можна назвати будь-який многогранник з вісьмома гранями. Правильний октаедр має 6 вершин і 12 ребер, мінімальна кількість для октаедра. Неправильні восьмигранники можуть мати до 12 вершин і 18 ребер[4]. Існує 257 топологічно різних опуклих восьмигранників, виключаючи дзеркальні копії. Зокрема, є 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранників з числом вершин від 6 до 12 відповідно[5][6]. (Два многогранники «топологічно різні», якщо вони мають внутрішньо різне розташування граней і вершин, так що немає можливості перетворити одне тіло в інше просто зміною довжини ребер або кутів між ребрами або гранями.)
Деякі відомі неправильні восьмигранники:
Каркас з повторюваних тетраедрів і октаедрів винайдений Фуллером в 1950-х роках і він відомий як просторова рама[en] і вважається найміцнішою структурою, що чинить опір напругам консольної балки.
Правильний октаедр можна збільшити до тетраедра додаванням чотирьох тетраедрів на грані, які чергуються. Додавання тетраедрів до всіх восьми граней утворює зірчастий октаедр.
Октаедр належить до родини однорідних многогранників, пов'язаних з кубом.
Він також є одним з найпростіших прикладів гіперсимплекса[en], многогранника, утвореного певним перетином гіперкуба з гіперплощиною.
Октаедр входить в послідовність многогранників з символом Шлефлі {3,n}, яка продовжується на гіперболічну площину.
Правильний октаедр можна розглядати як повністю зрізаний тетраедр і можна назвати тетратетраедром. Це можна показати за допомогою розмальованої двома кольорами моделі. При цьому розфарбовуванні октаедр має тетраедричну симетрію.
Порівняння послідовності зрізання тетраедра і його двоїстої фігури:
Вищенаведені тіла можна розуміти як зрізи, ортогональні до довгої діагоналі тесеракта. Якщо розташувати цю діагональ вертикально з висотою 1, то перші п'ять перерізів зверху на висотах r, 3/8, 1/2, 5/8 і s, де r — будь-яке число в інтервалі (0,1/4], а s — будь-яке число в інтервалі [3/4,1).
Октаедр як тетратетраедр існує в послідовності симетрій квазіправильних многогранників і мозаїк з конфігурацією вершин (3.n)2, проходячи від мозаїк на сфері до евклідової площини, а потім гіперболічної площини. В орбіфолдній нотації[en] симетрії *n32 всі ці мозаїки є побудовами Вітгоффа всередині фундаментальної області симетрії з генерувальними точками на прямому куті області[8][9].
Шаблон:Квазірегулярні-3 мала таблиця
Як трикутної антипризми октаедр пов'язаний з сімейством шестикутної діедричної симетрії.
Многогранник | ... | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферична мозаїка |
Плоска мозаїка |
||||||||||||
Конфігурація | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | 9.3.3.3 | 10.3.3.3 | 11.3.3.3 | 12.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
Симетрія n32 |
Сферична | Евклідова | Компактна гіперболічна |
Паракомп. | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Кирпаті фігури |
||||||||
Конфігурація | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Фігури | ||||||||
Конфігурація | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.