For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Divizora funkcio.

Divizora funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio

Matematikaj funkcioj
Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζη • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco
Divizora funkcio σ0(n) por n≤250
Divizora funkcio σ0(n) por n≤250
Divizora funkcio σ1(n) por n≤250
Divizora funkcio σ1(n) por n≤250
Sumo de la kvadratoj de divizoroj, σ2(n) por n≤250
Sumo de la kvadratoj de divizoroj, σ2(n) por n≤250
Sumo de kuboj de divizoroj, σ3(n) por n≤250
Sumo de kuboj de divizoroj, σ3(n) por n≤250

En nombroteorio, la divizora funkcio estas aritmetika funkcio rilata al divizoroj de entjero.

Difino

La funkcio kiu prezentas sumon de pozitiva divizoroj σx(n) estas difinita kiel la sumo de la x-aj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n, aŭ

La notacia stilo d(n) kaj τ(n) (la funkcio τ) estas uzata ankaŭ por σ0(n), t.e. la kvanto de divizoroj de n. Se x estas 1, la funkcio estas identa al la funkcio σ, kaj la suba indico estas ofte neskribata, do σ(n) estas ekvivalenta al σ1(n).

La obla suma funkcio estas sumo de la propraj divizoroj (tio estas, la divizoroj malinkluzivante n mem), estas s(n)=σ1(n)-n; la obla vico de n estas formita per multfoja aplika de la obla suma funkcio.

Ekzemplo

Ekzemple, σ0(12) estas la kvanto de la divizoroj de 12:

σ0(12)=10+20+30+40+60+120=1+1+1+1+1+1=6

kaj σ1(12) estas la sumo de ĉiuj divizoroj:

σ1(12)=11+21+31+41+61+121=1+2+3+4+6+12=28

Propraĵoj

Por primo p:

d(p)=2
d(pn)=n+1
σ(p)=p+1

Por ĉiu n>2:

1<d(n)<n
σ(n)>n

La divizora funkcio estas multiplika funkcio, sed ne plene multiplika funkcio. La konsekvenco de ĉi tio estas tiu ke, se

kie estas la kvanto de diversaj primaj faktoroj de n, pi estas la i-a prima faktoro, kaj ai estas la maksimuma povo de pi per kiu n estas dividebla, do

kiu estas ekvivalento al la utila formulo:

Ekvacio por kalkulo de d(n) estas

Ekzemple, se n estas 24, estas du primaj faktoroj (p1 estas 2; p2 estas 3); 24 estas produto de 23×31, a1 estas 3 kaj a2 estas 1. Do d(24) estas:

(la ok divizoroj estas 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, kaj 24).

Funkcio de sumo de la propraj divizoroj s(n) estas la uzata por difini perfektajn nombrojn, por kiu s(n)=n. Se s(n)>n do n estas abunda nombro kaj se s(n)<n do n estas manka nombro.

En 1984, Roger Heath-Brown pruvis ke

d(n)=d(n+1)

okazas malfinie ofte.

Seria elvolvaĵo

La divizora funkcio povas esti skribita kiel finia trigonometria serio

sen eksplicita referenco al la divizoroj de n.

Seriaj rilatoj

Du serioj de Dirichlet engaĝantaj la divizoran funkcion estas:

kaj

Serio de Lambert engaĝanta la divizoran funkcion estas:

por ajna kompleksa nombro |q|≤1 kaj a. Ĉi tiu sumado ankaŭ aspektas kiel la serio de Fourier de la serio de Eisenstein kaj la invariantoj de la elipsa funkcio de Weierstrass.

Asimptota kreskado

En malgranda o skribmaniero, la divizora funkcio plenumas la jenan neegalaĵon:

En granda O skribmaniero, Dirichlet montris ke la averaĝa ordo de la divizora funkcio kontentigas jenan neegalaĵon

kie estas konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Plibonigo de la baro en ĉi tiu formulo estas konata kiel la divizora problemo de Dirichlet

La konduto de la σ funkcio estas malregula. La kreska kurzo de la σ funkcio povas esti esprimita kiel:

kie limsup estas la limigo supera. Ĉi tiu rezulto estas teoremo de Thomas Hakon Grönwall, publikigita en 1913.

En 1984 Guy Robin pruvis ke

por n>5040

estas vera se kaj nur se la rimana hipotezo estas vera. La plej granda sciata valoro kiu malverigas la neegalaĵon estas n=5040. Se la rimana hipotezo estas vera, ne estas pli grandaj esceptoj. Se la hipotezo estas malvera tiam estas malfinia kvanto da valoroj n tiaj por kiu la neegalaĵo estas malvera.

Rilatanta baro estis donita de Jeffrey Lagarias en 2002, kiu pruvis ke la rimana hipotezo estas ekvivalento al la frazo ke

por ĉiu natura nombro n, kie estas la n-a harmona nombro.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Divizora funkcio
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.