香港高级程度会考纯粹数学科

香港高级程度会考纯粹数学科(英语：HKALE Pure Mathematics)是昔日一个在香港教育制度内的大学预科高等数学课程，公开考试在1980年至2013年间由香港考试及评核局(HKEAA)举办。

历史及概述

课程前身为香港大学入学资格考试纯粹数学(University of Hong Kong Matriculation Examination Pure Mathematics)课程。

1980年，第一届由香港考试局（今香港考试及评核局）举办的香港高级程度会考纯粹数学科考试举行。

1992年本科首次有教学用的课程纲要，香港课程发展议会编制及发布纯粹数学科学习领域指引《中学课程纲要－纯粹数学科 (高级程度) (1992)》 （页面存档备份，存于互联网档案馆），此前只有考试纲要。

2001年4月，发生试题印错事件，卷二第8题所提供的函数，把“${\displaystyle 6-x}$”误印成“${\displaystyle x-6}$”，令题目无法算出^[1]。考试局在同月27日检讨补救方法后^[2]，决定以不重考但调整考生分数的方式处理^[3][a][4][5]。

2004年，香港课程发展议会编制及发布《数学教育学习领域－纯粹数学科课程及评估指引 (高级程度) (2004)》（页面存档备份，存于互联网档案馆）。

2009年9月，香港教育界实施三三四高中教育改革新学制课程^[6]，当中并没有纯粹数学科^[7]，不过教育局总课程发展主任李柏良在新闻报导上指出，纯粹数学科及香港高级补充程度会考数学与统计学的内容跟新学制的香港中学文凭考试数学科延伸部分接近^[8]。

2012年，最后一届开放予应届学校考生参加。

2013年，为自修生举行的最后一届香港高级程度会考举行^[9] 。

考试纲要及课程纲要

1992年前

考试纲要

根据香港数学教育学会(Hong Kong Association for Mathematics Education)的网志，由于不成文规定，香港大学入学资格考试的纯粹数学科预科课程归香港大学管理，最早的考试纲要可追溯至1956年，并未有教学课程及评估指引纲要发布^[10]，任教老师只能参考历届试题来自制教材，部分学校出现教学课程内容过多过深的“超教（英语：Overlearning）”情况^[11]。

数学领域	拟题的数学概念
数理逻辑	数学叙述——定义、公设、定理、引理-推论、悖论、猜想 命题、逆命题及逆否命题、对称关系命题、不失一般性(w.l.o.g.) 或（${\displaystyle \lor }$）、非（${\displaystyle \neg }$）、与（${\displaystyle \land }$）、真值表 蕴涵（⇒）、反蕴涵（⇐）、当且仅当(⇔)、逻辑等价、充份条件、必要条件、充分必要条件 量化、全称量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!) 数学证明、直接证明（粤语：直接證明）、反证法——无理数的证明
初等集合论	元素、属于关系 (∈) 集合及集合代数——并集、交集、补集、差集、笛卡儿积、德摩根定律、对称差、幂集、空集、文氏图、势 数系——自然数集(${\displaystyle \mathbb {N} }$)、整数集(${\displaystyle \mathbb {Z} }$)、有理数集(${\displaystyle \mathbb {Q} }$)、实数集(ℝ)和复数集(ℂ)之间的子集关系(${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$) 数学归纳法、强数学归纳法
离散数学	级数及序列——等差数列、等比数列；及其通项公式 裂项和、求和符号(Σ) ；裂项积、求积符号 (Π) 序列的有限差分 递回关系式、封闭形式、特征方程式、生成函数
组合数学	阶乘 (n!) 二项式定理、二项式系数${\displaystyle C_{r}^{n}}$及其性质(递回性质、对称性、递增性、极值)； 组合恒等式、帕斯卡三角形 排列与组合的概率问题
函数及映射	定义域及值域、陪域、区间 单射、双射与满射 奇函数与偶函数、周期函数 复合函数、反函数 分段函数、对称函数 取整函数、符号函数
方程理论	乘法公式(交换律、结合律、分配律) 整系数多项式、多项式次数（粤语：多項式次數） 因式分解、因式定理、余式定理、不可约多项式、艾森斯坦判别法 多项式除法、综合除法、多项式辗转相除法及最大公因数 代数方程、代数基本定理、根、解析解、重根、共轭复根、有理数根定理、根与系数、判别式、笛卡儿符号法则 多项式变换、配方法 一元多项式方程求解——二次方程、三次方程、四次方程 介值定理、费马引理 次方和对称多项式、牛顿恒等式 有理函数及垂直渐近线、部分分式分解
抽象代数	等价关系（${\displaystyle \sim }$） 群(群论)、环、域 矩阵群
复数代数	复数四则运算及其代数性质(封闭性、结合性、交换性、存在单位元、存在逆元和分配性)、虚数单位、实部、虚部、共轭复数、辐角、复数模 复数平面上的几何表达及移动点的轨迹集合 复数模不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式 cis函数、棣莫弗公式及其应用——解一元n次方程、n次单位根、三角恒等式
初等微积分学	极限的直观概念（不包括极限严谨定义ε-δ语言[12]）、自然对数函数的底数${\displaystyle e}$ 数列极限、无穷级数、无穷序列、无穷乘积、单调递增、单调递减、单调收敛定理、敛散性(收敛、发散，不包括审敛法） 夹挤定理、不定式及洛必达法则 初等函数——代数函数、幂函数、有理函数、三角函数及反三角函数(三角恒等式)、指数函数及自然对数(${\displaystyle ln}$) 函数极限、连续函数、左导数、右导数及可微函数 求导法则——导数列表、四则运算(微分的线性、乘积法则、除法定则、倒数定则)、反函数的微分、复合函数的微分(链式法则)、隐函数的微分、参数方程和极坐标系方程的微分、对数微分法、高阶导数及莱布尼兹法则 罗尔定理、拉格朗日中值定理 微分应用——曲线上某点的切线斜率及法线、函数图形描绘(截距、渐近线、拐点、驻点、极值) 微积分基本定理、黎曼积分及可积函数、不定积分（原函数）及积分常数、反常积分、积分第一中值定理 积分表、三角函数积分表、三角换元法、正切半角公式换元法（英语：Tangent half-angle substitution）、降次积分法、换元积分法、分部积分法、部分分式积分法 定积分应用——曲线弧长、平面面积、旋转体的体积(圆盘法和外壳法)及旋转曲面面积
平面解析几何	笛卡尔坐标系、极坐标系 弦、切线及法线 圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线、退化圆锥曲线及各参数方程，几何特征——离心率、焦点、准线、对称轴 圆锥曲线在齐次坐标的矩阵表示及其行列式的判别式
线性代数	线性方程组、行向量与列向量、初等变换、阶梯形矩阵、高斯消去法、克莱姆法则 矩阵代数运算(矩阵加法、矩阵乘法及其不可交换性、n次幂)及其代数性质、零矩阵、转置矩阵 方阵及行列式、萨吕法则、拉普拉斯展开、奇异方阵及非奇异方阵、逆矩阵、单位矩阵 线性映射及${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上的仿射变换及其变换矩阵——平移、旋转(旋转矩阵)、反射、缩放、错切
向量代数及立体解析几何	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$欧几里得空间的向量运算(向量加法定律——三角形定律、平行四边形定律及多边形定律、标量乘法)及其代数性质(结合性、存在单位元、存在逆元)、单位向量、零向量、范数、方向余弦、向量截点公式（英语：Section formula）、欧几里得度量 点积(标量投影)、叉积及其反交换律(其范数为平行四边形的面积)、标量三重积${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$(平行六面体的体积)、向量三重积${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$、向量恒等式、平行四边形恒等式 向量范数不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式 线性组合、线性相关性 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$欧几里得空间的直线方程表示——一般式、斜截式、二点式(行列式)、参数式、向量式，一点与直线的距离，两条相交直线的相交点、两条相交直线的夹角、两条直线的距离 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$欧几里得空间的平面方程表示——一般式、点坐标及法向量、行列式，一点与平面的距离、两个平面的夹角 实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$上的向量空间及其代数性质、维度、零空间
不等式	绝对值、绝对值不等式 三角不等式 分式不等式 对称多项式不等式 代数不等式——算术-几何平均值不等式(反向归纳法的证明)、柯西-施瓦茨不等式

1992年

《中学课程纲要–纯粹数学科(高级程度)1992》发布。

《中学课程纲要–纯粹数学科(高级程度)1992》
范畴A : 代数	单元A1 数学语言 单元A2 函数 单元A3 数学归纳法 单元A4 不等式 单元A5 正整指数的二项式定理 单元A6 多项式及方程 单元A7 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$及${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的向量 单元A8 矩阵 单元A9 二元及三元线性方程组 单元A10 复数
范畴B : 微积分与解析几何	单元B1 序列、级数及其极限 单元B2 极限、连续性及可微性 单元B3 微分法 单元B4 微分法的应用 单元B5 积分法 单元B6 积分法的应用 单元B7 解析几何

2004年

《数学教育学习领域－纯粹数学科课程及评估指引 (高级程度) (2004) 》发布。

拟题

根据香港数学教育学会(Hong Kong Association for Mathematics Education)的期刊《数学教育》(EduMath)，1970年代开始，纯粹数学科公开考试以结构式问题(Structured Question)形式拟题(Problem Posing)^[13]考核考生对数学基础的理解、应用及解难(Problem Solving)能力^[14]，例如证明命题，推导定理或引理，^[15][16]并着重融会各数学领域之间的关连和数学之美。

早年只有英文版本试题，以下列表以英文为主:

数学领域	拟题的数学概念	试题题号	备注
正交多项式及多项式序列	埃尔米特多项式 勒让德多项式 切比雪夫多项式
序列与级数	Fibonacci polynomials（英语：Fibonacci polynomials）、斐波那契数列、比内公式
实分析	上极限和下极限 利普希茨连续
数学分析	富比尼定理
渐近分析	史特灵公式
圆周率	高斯-勒让德算法 巴塞尔问题 Π的莱布尼茨公式 沃利斯乘积 Viète's formula（英语：Viète's formula） 梅钦类公式 证明22/7大于π
特殊函数	高斯积分 伽玛函数 Β函数 符号函数
Inequality（英语：Inequality (mathematics)）	加权算术－几何平均值不等式 伯努利不等式 切比雪夫总和不等式 Weierstrass product inequality（英语：Weierstrass product inequality）
李代数	李群
算术	Nearest integer function（英语：Nearest integer function）
函数方程(Functional Equation（英语：Functional Equation）)	柯西函数方程
数值分析	泰勒级数、泰勒公式拉格朗日型余项、泰勒公式积分型余项 拉格朗日多项式 牛顿法
傅里叶分析	帕塞瓦尔恒等式 正交函数
复分析	Linear fractional transformation（英语：Linear fractional transformation）
无理数	证明π是无理数 证明e是无理数(Proof that e is irrational（英语：Proof that e is irrational）)
超越数	E的π次方 黄金分割率
组合数学	母函数 朱世杰恒等式 范德蒙恒等式 多项式定理
Calculus	Steiner's calculus problem（英语：Steiner's calculus problem） Mean value theorems for definite integrals（英语：Mean value theorems for definite integrals） Symmetric derivative（英语：Symmetric derivative） Frullani integral（英语：Frullani integral） Cauchy's Mean Value Theorem（英语：Cauchy's Mean Value Theorem） Integral of inverse functions（英语：Integral of inverse functions） 、杨氏不等式 调和级数、欧拉-马斯刻若尼常数 P-series（英语：Harmonic series (mathematics)#P-series） 积分判别法
分数微积分	Cauchy formula for repeated integration（英语：Cauchy formula for repeated integration）
泛函分析	Lp空间 Lp范数 (Lp-Norm（英语：Norm (mathematics)#p-norm）) 赫尔德不等式 闵可夫斯基不等式
Operational calculus（英语：Operational calculus）	单位阶跃函数
线性代数	Vector projection（英语：Vector projection） 格拉姆-施密特正交化 极化恒等式
矩阵理论(Matrix Algebra（英语：Matrix (mathematics)）)	Trace（英语：Trace (linear_algebra)） Commuting matrices（英语：Commuting matrices） 范德蒙矩阵 凯莱–哈密顿定理 克罗内克积 可对角化矩阵、特征分解、特征值和特征向量、特征多项式 矩阵多项式 幂零矩阵 反对称矩阵、对称矩阵、正交矩阵、三角矩阵
方程理论	Cubic equation#Cardano's formula（英语：Cubic equation#Cardano's formula） 四次方程 牛顿恒等式 Eisenstein's_criterion（英语：Eisenstein's_criterion） 高斯-卢卡斯定理
代数曲线	心脏线 帕斯卡蜗线 星形线 三尖瓣线 阿基米德螺线
统计学	nth moment of f(x)（英语：Moment (mathematics)）
凸分析	凸集 凸函数 简森不等式

另见

• 香港中学会考附加数学科
• 香港高级补充程度会考数学与统计学
• 香港高级程度会考应用数学科
• 香港中学文凭考试数学科延伸部分
• 香港高等程度会考高级数学：香港中文大学入学试中的高等数学科^[17]
• 梁鉴添：香港高级程度会考纯粹数学科参考书作者
• 郭宇权：香港高级程度会考纯粹数学科参考书作者