Lista symboli matematycznych

Lista symboli matematycznych – artykuł zawierający listę podstawowych symboli i oznaczeń matematycznych.

Wiele symboli może być zaprzeczonych przez ich przekreślenie lub przekreślenie ich części, np. ${\displaystyle \notin }$ oznaczający brak przynależności do zbioru jest zaprzeczeniem symbolu ${\displaystyle \in }$ oznaczającego przynależność elementu do zbioru, czy też ${\displaystyle \supseteq ,\subseteq }$ oznaczający niewłaściwe zawieranie zbiorów oraz ${\displaystyle \varsupsetneq ,\varsubsetneq }$ oznaczający explicité właściwe zawieranie zbiorów. W niektórych symbolach poniżej przez ${\displaystyle \cdot }$ oraz ${\displaystyle \bullet }$ oznaczone są miejsca przyłożenia argumentów i parametrów. W większości wypadków nazwy zbiorów i operatorów można pisać wielką lub małą literą (choć ustalony jest często jeden z zapisów), jednak czasami wielkość liter ma znaczenie, np. ${\displaystyle \arg }$ oraz ${\displaystyle \operatorname {Arg} .}$

Lista

Ważne działania i relacje

Symbol	Znaczenie	Czytanie
${\displaystyle +,-,\cdot ,{\tfrac {\ \cdot \ }{\ \cdot \ }}(\div ,\colon )}$	dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie	dodać, odjąć, razy, przez
${\displaystyle \ast }$	splot funkcji, mnożenie
${\displaystyle =}$	równość	równa się, jest
${\displaystyle <,>}$	nierówności (ostre, mocne)	mniejsze niż, większe niż
${\displaystyle \leqslant (\leq ),\geqslant (\geq )}$	nierówności (nieostre, słabe)	mniejsze niż lub równe = niewiększe niż, większe niż lub równe = niemniejsze
${\displaystyle \ll ,\gg }$	oszacowania; absolutna ciągłość	dużo mniejsze, dużo większe; absolutnie ciągłe względem
${\displaystyle \equiv ,{\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}}$	tożsamość	tożsame z, oznaczane
${\displaystyle a{\bmod {b}}}$	dzielenie z resztą	reszta z dzielenia ${\displaystyle a}$ przez ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a}$ modulo ${\displaystyle b}$
${\displaystyle a\equiv b{\pmod {c}}}$	kongruencja	${\displaystyle a}$ przystaje do ${\displaystyle b}$ modulo ${\displaystyle c}$
${\displaystyle \cong ,\simeq }$	izomorfizm	izomorficzne, równe (z dokładnością do izomorfizmu)
${\displaystyle \approx ,\cong }$	przybliżenie	(równe) w przybliżeniu
${\displaystyle$ :=,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}},{\overset {\underset {\mathrm {df} }{\ }}{=}}}	definicja	zdefiniowane jako, (równe) z definicji

Logika matematyczna i teoria mnogości

Symbol	Znaczenie	Czytanie
${\displaystyle \land ,\cdot ,\,.,\&}$	koniunkcja	i (i równocześnie)
${\displaystyle \lor }$	alternatywa	lub
${\displaystyle \veebar ,{\dot {\vee }},\oplus }$	alternatywa wykluczająca	albo, inne nazwy: alternatywa rozłączna, różnica symetryczna, kontrawalencja
${\displaystyle {\overline {\wedge }},|,\uparrow }$	kreska Sheffera	również funktor Sheffera, dysjunkcja, niewspółzachodzenie
${\displaystyle {\overline {\vee }}}$	binegacja	ani A, ani B
${\displaystyle \sim ,\neg }$	negacja	nie, nieprawda, że
${\displaystyle \Rightarrow ,\to ,\supset }$	implikacja	implikuje, wynika, pociąga
${\displaystyle \iff ,\leftrightarrow }$	równoważność	wtedy i tylko wtedy gdy
${\displaystyle \therefore }$	wniosek, konkluzja	zatem, stąd lub w związku z tym
${\displaystyle \because }$	uzasadnienie	ponieważ lub bo
${\displaystyle \{\cdot \}}$	zbiór	zbiór (złożony z) elementów ${\displaystyle \cdot }$ (elementy oddzielane przecinkami lub średnikami)
${\displaystyle \{\cdot$ :\bullet \},\{\cdot |\bullet \}}		zbiór (złożony z) elementów ${\displaystyle \cdot }$ takich, że ${\displaystyle \bullet }$
${\displaystyle (\cdot ),\{\cdot \}}$	krotka, ciąg	krotka/ciąg (złożona/y z) elementów ${\displaystyle \cdot }$ (oddzielane przecinkami lub średnikami), krotka dla dwóch elementów: para uporządkowana (para), trzech: trójka itp.
${\displaystyle \subset ,\subseteq ,\supset ,\supseteq }$	inkluzja (właściwa, niewłaściwa)	zawiera się, jest zawarte; zawiera
${\displaystyle \in ,\ni }$	przynależność do zbioru	należy do (jest elementem), zawiera w sobie element
${\displaystyle \varnothing ,\emptyset ,\{\}}$	zbiór pusty
${\displaystyle \cup ,\bigcup }$	suma zbiorów
${\displaystyle \cap ,\bigcap }$	iloczyn zbiorów	również przekrój zbiorów
${\displaystyle \setminus ,\smallsetminus ,-}$	różnica zbiorów
${\displaystyle /}$	zbiór ilorazowy	również przez
${\displaystyle \times ,\prod }$	iloczyn kartezjański	również produkt
${\displaystyle \operatorname {card} ,\#\cdot ,|\cdot |,\,{\overline {\overline {\ \cdot \ }}}}$	moc zbioru
${\displaystyle \aleph _{0}}$	moc nieskończonego zbioru przeliczalnego	alef zero
${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$	continuum, moc zbioru liczb rzeczywistych	kontinuum
${\displaystyle \forall ,\bigwedge ,\Pi }$	kwantyfikator ogólny	dla każdego, inne nazwy: uniwersalny, duży
${\displaystyle \exists ,\bigvee ,\Sigma }$	kwantyfikator egzystencjalny	istnieje, inne nazwy: szczegółowy, mały
${\displaystyle \exists$ !,\bigvee !}	kwantyfikator jednoznaczności	istnieje dokładnie jeden
${\displaystyle \cdot {\big |}_{\bullet }}$	obcięcie ${\displaystyle \cdot }$ do ${\displaystyle \bullet }$	również restrykcja, zawężenie (np. restrykcja funkcji)
${\displaystyle T}$	tautologia	zdanie zawsze prawdziwe
${\displaystyle F}$	kontradykcja	zdanie zawsze fałszywe

Ważne zbiory i struktury

Symbol	Znaczenie
${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {N} _{0}}$	zbiór liczb naturalnych, liczby naturalne z zerem włącznie
${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} ^{+},\mathbb {Z} _{n}}$	zbiór liczb całkowitych, liczby całkowite dodatnie, pierścień reszt modulo n
${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ^{+},\mathbb {Q} _{p}}$	zbiór liczb wymiernych, zbiór liczb wymiernych dodatnich, liczby p-adyczne
${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{+},{\overline {\mathbb {R} }},\mathbb {R} ^{*}}$	zbiór liczb rzeczywistych, zbiór liczb rzecz. dodatnich, zbiór liczb rzecz. uzupełniony o ${\displaystyle \{+\infty ,-\infty \},}$ zbiór liczb hiperrzeczywistych
${\displaystyle \mathbb {C} ,{\widehat {\mathbb {C} }}}$	zbiór liczb zespolonych, zbiór liczb zesp. uzupełniony o ${\displaystyle \{\infty \}}$
${\displaystyle \mathbb {H} }$	zbiór kwaternionów
${\displaystyle \mathbb {O} }$	zbiór oktaw Cayleya
${\displaystyle \mathbb {S} }$	zbiór sedenionów

Geometria i topologia

Symbol	Znaczenie	Czytanie
${\displaystyle \|}$	równoległość	równoległe z
${\displaystyle \perp }$	prostopadłość, ortogonalność	prostopadłe do, ortogonalne do
${\displaystyle \sphericalangle ,\measuredangle ,\angle }$	kąt
${\displaystyle \Box ,\triangle }$	kwadrat, trójkąt
${\displaystyle \operatorname {cl} ,{\overline {\ \cdot \ }}}$	domknięcie zbioru
${\displaystyle \operatorname {bd} ,\operatorname {fr} ,\partial }$	brzeg zbioru
${\displaystyle \operatorname {int} ,{\overset {\circ }{\cdot }},\cdot ^{\circ },\cdot ^{0}}$	wnętrze zbioru
${\displaystyle \cdot ^{d}}$	pochodna zbioru
${\displaystyle \cdot ',\cdot ^{c}}$	dopełnienie zbioru

Analiza matematyczna

Symbol	Znaczenie	Czytanie
${\displaystyle a^{b},x^{2},x^{3}}$	potęga	${\displaystyle a}$ do (potęgi) ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle x}$ kwadrat (${\displaystyle x}$ do kwadratu), ${\displaystyle x}$ sześcian (${\displaystyle x}$ do sześcianu)
${\displaystyle {\sqrt {x}},{\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{y}]{x}}}$	pierwiastek arytmetyczny, pierwiastek algebraiczny	zwykle po prostu pierwiastek (kwadratowy), sześcienny, stopnia ${\displaystyle y}$ z ${\displaystyle x}$
${\displaystyle d,D}$	różniczka
${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}$	różniczka cząstkowa
${\displaystyle f',f'',{\tfrac {df}{dx}}}$	pochodna funkcji	${\displaystyle f}$ prim, ${\displaystyle f}$ bis, ${\displaystyle df}$ po ${\displaystyle dx}$
${\displaystyle {\dot {x}},{\ddot {x}},\dots ,}$	pochodna zupełna po czasie tj; ${\displaystyle {\dot {x}}:={\frac {\operatorname {d} \!x}{\operatorname {d} \!t}}}$	pierwsza, druga, ... pochodna ${\displaystyle x}$ (nie używa się zwykle do trzeciej, czwartej włącznie)
${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}},D_{i}f}$	pochodna kierunkowa, pochodna cząstkowa	${\displaystyle df}$ po ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle i}$-ta pochodna cząstkowa
${\displaystyle \int ,\;\int \limits _{a}^{b},\int \limits _{A}}$	całka (nieoznaczona), całka oznaczona od ${\displaystyle a}$ do ${\displaystyle b,}$ całka po (zbiorze) ${\displaystyle A}$
${\displaystyle \iint ,\iiint ,\iiiint ,\oint }$	całka podwójna (powierzchniowa), potrójna, poczwórna, krzywoliniowa (okrężna; po krzywej zamkniętej)
${\displaystyle C}$	stała całkowania
${\displaystyle (f\colon )A\to B}$	odwzorowanie ${\displaystyle (f)}$ z ${\displaystyle A}$ w ${\displaystyle B}$	inne nazwy w artykule funkcja
${\displaystyle x\mapsto y}$	wzór funkcji	${\displaystyle x}$ przechodzi na ${\displaystyle y}$
${\displaystyle C^{n},C^{n}(X)}$	zbiór funkcji różniczkowalnych ${\displaystyle n}$ razy (na zbiorze ${\displaystyle X}$) o ciągłej ${\displaystyle n}$-tej pochodnej	klasy ${\displaystyle C^{n}}$ (na ${\displaystyle X}$)
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}~a_{i},\sum _{i=0}^{\infty }~a_{i},}$	suma, szereg
${\displaystyle \prod _{i=0}^{n}~a_{i},\prod _{i=0}^{\infty }~a_{i}}$	iloczyn skończony, iloczyn nieskończony	również produkt
${\displaystyle \lim _{i\to x}~a_{i},a_{i}{\xrightarrow {i\to x}}\;\cdot }$	granica ciągu ${\displaystyle a_{i}}$ przy ${\displaystyle i}$ dążącym do ${\displaystyle x}$	limes ${\displaystyle a_{i}}$ przy ${\displaystyle i}$ dążącym do ${\displaystyle x}$
${\displaystyle \lim _{x\to a}~f(x),f(x){\xrightarrow {x\to a}}\;\cdot }$	granica funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a}$	limes ${\displaystyle f(x)}$ przy ${\displaystyle x}$ dążącym do ${\displaystyle a}$
${\displaystyle \lim _{x\to -a}~f(x),}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a_{-}}~f(x)}$	granica lewostronna funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a}$
${\displaystyle \lim _{x\to +a}~f(x),}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a_{+}}~f(x)}$	granica prawostronna funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a}$
${\displaystyle \limsup ,\liminf }$	granica górna, dolna	również limes superior, limes inferior
${\displaystyle \sup ,\inf }$	kres górny, dolny	również supremum, infimum
${\displaystyle \max ,\min }$	maksimum, minimum
${\displaystyle \arg ,\operatorname {Arg} }$	argument liczby zespolonej, argument główny liczby zespolonej
${\displaystyle [\ \cdot \ ],\lfloor \cdot \rfloor ,\operatorname {Ent} (\cdot )}$	część całkowita	również podłoga, entier
${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$	sufit	również powała
${\displaystyle \{\cdot \}}$	część ułamkowa	również mantysa
${\displaystyle \operatorname {supp} }$	nośnik funkcji, nośnik miary, nośnik permutacji	zwykle po prostu nośnik
${\displaystyle \operatorname {re} ,\Re }$	część rzeczywista	również realis
${\displaystyle \operatorname {im} ,\Im }$	część urojona	również imaginaris

Niektóre stałe

Symbol	Znaczenie
${\displaystyle \pi }$	liczba pi
${\displaystyle e}$	podstawa logarytmu naturalnego
${\displaystyle \gamma }$	stała Eulera
${\displaystyle \phi }$	złota liczba
${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$	jednostka urojona

Ważne funkcje

Symbol	Znaczenie	Uwagi
${\displaystyle \sin ,\cos ,\operatorname {tg} ,}$ ${\displaystyle \sec ,\operatorname {cosec} ,\operatorname {ctg} ,\operatorname {tgi} }$	sinus, cosinus, tangens, secans, cosecans, cotangens, tangens całkowy	funkcje trygonometryczne
${\displaystyle \arcsin ,\arccos ,\operatorname {arctg} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {arcsec} ,\operatorname {arccosec} ,\operatorname {arcctg} }$	arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens, arcus secans, arcus cosecans, arcus cotangens	funkcje cyklometryczne
${\displaystyle \sinh ,\cosh ,\operatorname {tgh} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {sech} ,\operatorname {cosech} ,\operatorname {ctgh} }$	sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny, tangens hiperboliczny, secans hiperboliczny, cosecans hiperboliczny, cotangens hiperboliczny	funkcje hiperboliczne
${\displaystyle \operatorname {tgi} ,\operatorname {arsinh} ,\operatorname {arcosh} ,\operatorname {artgh} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {arsech} ,\operatorname {arcosech} ,\operatorname {arctgh} }$	tangens całkowy, area sinus hiperboliczny, area cosinus hiperboliczny, area tangens hiperboliczny, area secans hiperboliczny, area cosecans hiperboliczny, area cotangens hiperboliczny	funkcje area
${\displaystyle \exp ,a^{\cdot }}$	funkcja eksponencjalna, funkcja wykładnicza
${\displaystyle \ln ,\log _{2},\log ,\log _{a}}$	logarytm naturalny, logarytm binarny, logarytm dziesiętny, logarytm przy podstawie ${\displaystyle a}$	funkcja logarytmiczna
${\displaystyle \operatorname {Ei} ,\operatorname {li} }$	funkcja całkowo-wykładnicza, logarytm całkowy
${\displaystyle \operatorname {Si} ,\operatorname {Ci} }$	sinus całkowy, cosinus całkowy
${\displaystyle \operatorname {erf} }$	funkcja błędu
${\displaystyle \operatorname {sinc} }$	funkcja sinc
${\displaystyle \Gamma }$	funkcja gamma
${\displaystyle \psi }$	logarytmiczna pochodna
${\displaystyle \zeta }$	funkcja dzeta Riemanna
${\displaystyle \operatorname {sign} }$	funkcja znaku
${\displaystyle \sigma }$	funkcja sigma
${\displaystyle \phi }$	funkcja phi
${\displaystyle \pi }$	funkcja pi

Algebra

Symbol	Znaczenie	Czytanie
${\displaystyle (\cdot ),[\ \cdot \ ]}$	wektor, macierz
${\displaystyle \odot ,\otimes }$	wektor skierowany do/od obserwatora
${\displaystyle \oplus }$	suma prosta
${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\cdot \\\perp \end{smallmatrix}}}$	ortogonalna suma prosta
${\displaystyle \otimes }$	iloczyn tensorowy
${\displaystyle \deg }$	stopień wielomianu
${\displaystyle \det ,|\cdot |}$	wyznacznik	determinant
${\displaystyle \ker }$	jądro
${\displaystyle /}$	grupa ilorazowa, pierścień ilorazowy	również przez
${\displaystyle \trianglelefteq (\vartriangleleft ),\trianglerighteq (\vartriangleright )}$	(właściwa) podgrupa normalna (właściwy) ideał
${\displaystyle \blacktriangleleft (\operatorname {char} ),\blacktriangleright }$	podgrupa charakterystyczna
${\displaystyle \times ,\prod }$	iloczyn kartezjański, iloczyn prosty	również produkt, produkt prosty
${\displaystyle \times ,\coprod }$	iloczyn prosty (zewnętrzny)	również produkt prosty (zewnętrzny)
${\displaystyle \ltimes ,\rtimes ,\leftthreetimes ,\rightthreetimes }$	iloczyn półprosty	również produkt półprosty
${\displaystyle {\overline {\ \cdot \ }}}$	sprzężenie liczby, sprzężenie macierzy (trywialne)
${\displaystyle \cdot ^{\star },{}^{\dagger }}$	sprzężenie hermitowskie macierzy
${\displaystyle \cdot ^{T}}$	przestawienie macierzy	również transpozycja
${\displaystyle \parallel \centerdot \parallel }$	norma

Inne

Symbol	Znaczenie	Czytanie
${\displaystyle \infty }$	nieskończoność
${\displaystyle ,}$	separator dziesiętny	i
${\displaystyle \colon ,|}$		taki, że
${\displaystyle \dim }$	wymiar
${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$	symbol Newtona	${\displaystyle n}$ nad ${\displaystyle k}$ albo ${\displaystyle n}$ po ${\displaystyle k}$
${\displaystyle (a,b),\;(a;b)}$ ${\displaystyle ]a,b[,\;]a;b[,}$	przedział (obustronnie) otwarty ${\displaystyle a,b}$
${\displaystyle [a,b],\;[a;b],}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle ,\;\langle a;b\rangle }$	przedział (obustronnie) domknięty ${\displaystyle a,b}$
${\displaystyle \pm ,\mp }$	plus lub minus, minus lub plus	również plus-minus, minus-plus
${\displaystyle O(\cdot ),o(\cdot ),\Omega (\cdot ),\omega (\cdot ),\Theta (\cdot )}$	asymptotyczne tempo wzrostu	oprócz nazw odczytywanych również: jest co najwyżej rzędu, jest rzędu niższego niż, jest co najmniej rzędu, jest rzędu wyższego niż, jest dokładnie rzędu
${\displaystyle \cdot ^{\star }}$	sprzężenie hermitowskie
${\displaystyle \operatorname {dom} }$	dziedzina
${\displaystyle \operatorname {im} ,\operatorname {rg} }$	obraz
${\displaystyle \nabla (\operatorname {grad} ),\Delta ,\Box }$	nabla (gradient), laplasjan, dalambercjan	również operator Laplace’a, d’Alemberta
${\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {curl} ,d),\operatorname {div} }$	rotacja, dywergencja
${\displaystyle \otimes ,\times ,\cdot }$	iloczyn tensorowy, iloczyn wektorowy, iloczyn skalarny
${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,\langle \cdot |\cdot \rangle ,(\cdot |\cdot )}$	iloczyn skalarny
${\displaystyle \circ }$	złożenie funkcji	złożone z
n!	silnia
!n	podsilnia

Zobacz też

Zobacz publikację LaTeX/Matematyka w Wikibooks

• lista jednoliterowych skrótów i symboli
  • alfabet grecki
  • alfabet hebrajski
• symbole aktuarialne(inne języki)