Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa, funkcja stopnia drugiego^[1] – typ funkcji matematycznej o co najmniej dwóch równoważnych definicjach^[2]:

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$

gdzie ${\displaystyle a,b,c}$ są pewnymi stałymi, przy czym ${\displaystyle a\neq 0}$^[a];

• ${\displaystyle f(x)=a(x-p)^{2}+q,}$

gdzie ${\displaystyle p,q}$ również są dowolnymi stałymi.

Wykres przykładowej funkcji kwadratowej w kartezjańskim układzie współrzędnych:${\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2.}$ Ma ona dwa miejsca zerowe (pierwiastki): ${\displaystyle f(-1)=f(2)=0,}$${\displaystyle x_{1}=-1,x_{2}=2.}$ Pozwala to na zapis w postaci iloczynowej – rozkład na czynniki liniowe: ${\displaystyle f(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})=}$${\displaystyle (x+1)(x-2).}$

Pierwszy wzór jest znany jako postać ogólna funkcji kwadratowej lub trójmian kwadratowy^[3], a drugi jako postać kanoniczna^[4][5]. Definicje te są równoważne, ponieważ pierwszą postać można zawsze przekształcić do drugiej i odwrotnie, co opisano w dalszej sekcji.

Dziedziną funkcji kwadratowej mogą być liczby rzeczywiste, co przy rzeczywistych współczynnikach daje też rzeczywisty zbiór wartości: ${\displaystyle f[\mathbb {R} ]\subset \mathbb {R} }$. Przez to za przeciwdziedzinę można przyjąć oś rzeczywistą lub jej podzbiór; taka funkcja jest przykładem funkcji rzeczywistej, a jej wykresem jest parabola^[2]. Funkcje kwadratowe można też definiować dla argumentów zespolonych i z innych zbiorów z działaniami dodawania i mnożenia; algebra abstrakcyjna nazywa część takich struktur ciałami, pierścieniami i półpierścieniami, zależnie od własności tych działań.

Zagadnienie miejsc zerowych takiej funkcji to równanie kwadratowe. Jeśli ma ono rozwiązania, to istnieje także postać iloczynowa takiej funkcji^[6] – rozkład na czynniki liniowe^[7]. W dalszej sekcji opisano ją bliżej, m.in. pokazano, że zawsze można przekształcić taką postać do dwóch pozostałych.

Uogólnienia funkcji kwadratowych to:

• funkcje wielomianowe^[b] wyższych stopni – funkcja kwadratowa ma stopień dwa^[1];
• formy kwadratowe – można je traktować jako funkcje wielu zmiennych.

Postacie funkcji kwadratowej

Ogólna (wielomianowa) i kanoniczna

Postać ogólną można przekształcić do kanonicznej i odwrotnie za pomocą wzorów skróconego mnożenia, konkretniej kwadratu sumy:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=a(x^{2}-2px+p^{2})+q=\\&=ax^{2}-2apx+ap^{2}+q,\end{aligned}}}$

co daje wzory^[8]:

${\displaystyle {\begin{aligned}b=&\ -2ap,\ c=ap^{2}+q,\\p=&\ -{\frac {b}{2a}},\\q=&\ c-ap^{2}=c-a\cdot {\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}=\\=&\ {\tfrac {4ac}{4a}}-{\tfrac {b^{2}}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}},\\\Delta$ :=&\ b^{2}-4ac.\end{aligned}}}

Wyrażenie ${\displaystyle \Delta }$ (delta) nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej ${\displaystyle f}$^[8]. Z postaci ogólnej do kanonicznej można też przejść inaczej, również wykorzystując wzór na kwadrat sumy:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=ax^{2}+bx+{\tfrac {b^{2}}{4a}}-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+c=\\&=a\left(x^{2}+2x{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+{\tfrac {4ac}{4a}}=\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a}}.\end{aligned}}}$

Postać kanoniczna pomaga opisać i narysować wykres funkcji^[4]. Przypadek zmiennej rzeczywistej opisuje odpowiednia sekcja.

Miejsca zerowe

Wykresy różnych funkcji kwadratowych zmiennej rzeczywistej w kartezjańskim układzie współrzędnych; różnią się liczbą miejsc zerowych przez różne znaki wyróżnika.

Główny artykuł: Równanie kwadratowe.

W dziedzinie rzeczywistej liczba miejsc zerowych takiej funkcji – zwanych też pierwiastkami – wynosi 0, 1 lub 2. Zależy to od znaku wyróżnika (${\displaystyle \Delta }$)^[8], co można uzasadnić za pomocą postaci kanonicznej i jej związku z postacią ogólną:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=0,\\a(x-p)^{2}&=-q,\\(x-p)^{2}&=-{\frac {q}{a}}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$

Możliwość dalszych przekształceń w obrębie liczb rzeczywistych zależy od tego, czy prawa strona równania ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. To z kolei zależy od jej znaku, który jest taki sam, jak ten wyróżnika^[c]. W przypadku nieujemnym (${\displaystyle \Delta \geqslant 0}$) otrzymuje się:

${\displaystyle {\begin{aligned}x-p&=\pm {\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}=\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{\sqrt {4a^{2}}}},\\x&=p\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}.\end{aligned}}}$

Ostatecznie jeśli wyróżnik jest:

• dodatni (${\displaystyle \Delta >0}$), to miejsca zerowe są dwa^[8]:

${\displaystyle x_{1}={\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\ x_{2}={\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}};}$

• zerowy (${\displaystyle \Delta =0}$), to miejsce zerowe jest jedno^[8]:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\tfrac {-b}{2a}}=p;}$

jest nazywane podwójnym jako pierwiastek dwukrotny wielomianu wyznaczającego funkcję^[9];

• ujemny (${\displaystyle \Delta <0}$), to nie ma rzeczywistych miejsc zerowych^[8].

W dziedzinie zespolonej rozwiązania istnieją zawsze i są dane powyższymi wzorami; w przypadku ujemnego wyróżnika (${\displaystyle \Delta <0}$) jego algebraiczne pierwiastki kwadratowe są liczbami urojonymi: ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}\in i\mathbb {R} }$. To istnienie rozwiązań dla dowolnych współczynników jest szczególnym przypadkiem zasadniczego twierdzenia algebry. Jeśli współczynniki funkcji (${\displaystyle a,b}$) są przy tym rzeczywiste, to miejsca zerowe różnią się tylko znakiem części urojonej. O takich liczbach mówi się, że są względem siebie sprzężone^[10].

Wzory Viète’a

Są to wzory m.in. na sumę i iloczyn miejsc zerowych różnych funkcji; dla funkcji kwadratowej są dwa takie wzory^[8]:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-{\tfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}&={\tfrac {c}{a}}.\\\end{aligned}}}$

Istnieje też związek różnicy miejsc zerowych z wyróżnikiem^[11]:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}-x_{1}={\frac {\sqrt {\Delta }}{a}},\\\Delta =a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}.\end{aligned}}}$

To wszystko pozwala odtworzyć postacie ogólną i kanoniczną z miejsc zerowych oraz współczynnika wiodącego (${\displaystyle a}$)^[12]:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=-a(x_{1}+x_{2}),\\c&=ax_{1}x_{2},\\p&={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\\q&=-{\frac {\Delta }{4a}}=-{\frac {a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}}{4a}}=\\&=-a{\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}.\end{aligned}}}$

Postać iloczynowa

Jeśli funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ – niekoniecznie różne – to można ją zapisać w jeszcze jednej postaci^[8]:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=a(x-x_{1})(x-x_{2})=\\&=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right).\end{aligned}}}$

W dziedzinie rzeczywistej jest to możliwe, jeśli wyróżnik jest nieujemny^[8] (${\displaystyle \Delta \geqslant 0}$) – wtedy jego pierwiastek kwadratowy jest rzeczywisty. W dziedzinie zespolonej jest to zawsze możliwe – jeśli wyróżnik jest ujemny (${\displaystyle \Delta <0}$), to

${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}},}$ gdzie ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną^[10].

Postać iloczynową można wyprowadzić z kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów (${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=a\left[(x-p)^{2}+{\frac {q}{a}}\right]=\\&=a\left[(x-p)^{2}-{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}^{2}\right]=\\&=a\left[(x-p)-{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}\right]\left[(x-p)+{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}\right]=\\&=a\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}-{\sqrt {\tfrac {\Delta }{4a^{2}}}}\right]\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right]=\\&=a\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right]\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right].\end{aligned}}}$

Postać iloczynowa umożliwia inne wyprowadzenie jednego ze wzorów na postać kanoniczną:

${\displaystyle {\begin{aligned}q&=f(p)=a(p-x_{1})(p-x_{2})=\\&=a{\Big (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-x_{1}{\Big )}{\Big (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-x_{2}{\Big )}=\\&=a{\Big (}{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}{\Big )}{\Big (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Big )}=\\&=-a{\Big (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Big )}^{2}.\end{aligned}}}$

Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych

Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ dla różnych wartości współczynników ${\displaystyle a,b,c.}$

Funkcja kwadratowa zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach ma wykres – w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej jest nim parabola^[8]. Jej wierzchołkiem jest punkt ${\displaystyle (p,q),}$ gdzie ${\displaystyle p,q}$ są dane jw.^[8], który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor ${\displaystyle [p,q]}$ względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią ${\displaystyle OX}$ układu. W szczególności ${\displaystyle p={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},}$ co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:

• każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi ${\displaystyle OY;}$
• ${\displaystyle a>0}$ daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi ${\displaystyle OY,}$ jeżeli ${\displaystyle a<0,}$ to są one skierowane przeciwnie^[8],
• zwiększanie ${\displaystyle |a|}$ sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
• zmiana ${\displaystyle b}$ powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią ${\displaystyle OY}$ przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem ${\displaystyle OX,}$ jeżeli ${\displaystyle b<0,}$ lub przeciwnie do niego, jeżeli ${\displaystyle b>0,}$
• parametr ${\displaystyle c}$ odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż ${\displaystyle OY}$ zgodnie z jej zwrotem, gdy ${\displaystyle c>0,}$ lub przeciwnie do niego, gdy ${\displaystyle c<0.}$

Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli:

${\displaystyle f_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1},}$

${\displaystyle f_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2},}$

to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem ${\displaystyle f_{2}(x)}$ względem paraboli będącej wykresem ${\displaystyle f_{1}(x)}$ jest równa^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle k=\left|{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right|.}$

Własności rzeczywistych funkcji kwadratowych

Zobacz też: przebieg zmienności funkcji.

Niżej zakłada się rzeczywistą dziedzinę i przeciwdziedzinę: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=ax^{2}+bx+c.}$

Własności ogólne

• Funkcja jest parzysta wyłącznie dla ${\displaystyle b=0;}$
• nigdy nie jest nieparzysta ani okresowa;
• monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale ${\displaystyle (-\infty ,p],}$ po czym rośnie (maleje) w przedziale ${\displaystyle [p,\infty )}$ dla ${\displaystyle a>0\;(a<0);}$
• ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie ${\displaystyle p}$ (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla ${\displaystyle a>0}$ i maksimum dla ${\displaystyle a<0}$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
• przez to zbiorem wartości jest przedział:
  • ${\displaystyle [q,\infty )}$ dla ${\displaystyle a>0}$;
  • ${\displaystyle (-\infty ,q]}$ dla ${\displaystyle a<0,}$;
• wypukłość: wypukła dla ${\displaystyle a>0}$ i wklęsła dla ${\displaystyle a<0}$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
• punkty przegięcia: brak.

Własności analityczne

• Brak asymptot;
• ciągłość w całej dziedzinie;
• różniczkowalność w całej dziedzinie; kolejne pochodne^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=2ax+b;\\f''(x)&=2a;\ n>2\Rightarrow \\f^{(n)}&\equiv 0.\end{aligned}}}$

Oznacza to, że funkcja jest gładka;

• całkowalność w sensie Riemanna i Lebesgue’a; funkcja pierwotna:

${\displaystyle F(x)={\tfrac {1}{3}}ax^{3}+{\tfrac {1}{2}}bx^{2}+cx+C.}$

Przypadek dziedziny zespolonej

Funkcja kwadratowa ${\displaystyle w(z)=z^{2},}$ gdzie ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) ${\displaystyle z}$ w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) ${\displaystyle w.}$ Siatka izometryczna ${\displaystyle z}$ składa się z dwóch rodzin hiperbol:

${\displaystyle {\begin{cases}u=x^{2}-y^{2},\\v=2xy.\end{cases}}}$

Punktami stałymi tego odwzorowania są ${\displaystyle 0}$ oraz ${\displaystyle 1}$^[13].

Przykłady i zastosowania

Geometria

• Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
• Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
• Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
• Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.

Inne działy matematyki

Liczby trójkątne to wartości pewnej funkcji kwadratowej.

• Suma ciągu arytmetycznego jest kwadratową funkcją liczby wyrazów. Przykład to sumy kolejnych liczb naturalnych, zwane liczbami trójkątnymi^{[potrzebny przypis]}.
• Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową^{[potrzebny przypis]}.

Fizyka

• W kinematyce:
  • dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu;
  • przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej.
• W dynamice:
  • rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola;
  • dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości;
  • energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu;
  • energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.

Zobacz też

Zobacz publikację Funkcja kwadratowa w Wikibooks

Zobacz galerię związaną z tematem: Funkcja kwadratowa

• ciąg Eulera
• jednorodna funkcja kwadratowa
• metoda Simpsona
• równanie dwukwadratowe
• zbiór Julii
• zbiór Mandelbrota

Uwagi

1. Oznacza to, że do funkcji kwadratowych nie zalicza się funkcji liniowych.
2. Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki ${\displaystyle a,b,c}$ należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce^{[potrzebny przypis]}.
3. tę zgodność można zapisać za pomocą funkcji signum: ${\displaystyle {\text{sgn}}{\frac {\Delta }{4a^{2}}}={\frac {{\text{sgn}}\Delta }{{\text{sgn}}(4a^{2})}}={\frac {{\text{sgn}}\Delta }{1}}.}$